静電エネルギー

コンデンサーの静電エネルギー

充電したコンデンサーはエネルギーを持っている

帯電させたコンデンサー(充電したコンデンサー)にモーターをつなげるとモーターに付いた羽根は回転します。極板の電荷がモーターに移動し羽根が回転するのです。このことから、充電したコンデンサーはエネルギーを持っているといえます。このエネルギーを静電エネルギーといいます。コンデンサーが何か仕事をした場合、それを放電といいます。

これは、質量 m の物体を地表から高さ h まで持ち上げて(充電)、mgh のエネルギーを得た物体を、落とすこと(放電)に相当します。

あるいは、ばね定数 k のばねを x だけ伸ばして(充電)、\(\large{\frac{1}{2}}\)kx2 のエネルギーを得たばねを、解放すること(放電)に相当します。

充電したコンデンサーも、極板間は引きつけ合っています。コンデンサーは支えが無いと極板間がくっついてしまいます。

コンデンサーに蓄えられるエネルギー

電気容量 C [F] のコンデンサーに、Q [C] の電荷を溜めたときのエネルギーを求めてみます。

一様な電場での位置エネルギー』において、U = qEd = qV と説明しましたので、今回求めようとしているエネルギーも U = QV である、と思うかもしれませんが、ちょっと違います。

U = qV と説明したときは、これは、電場の中において +q [C] の電荷を移動させる仕事、として説明しました。

しかし今回は、電場を作っているのが、極板に存在する電荷たち自身です。大きな電場の中にコンデンサーを置いたわけではありません。

ですのでちょっと考え方を変えまして、電荷 Q を無数の微小電荷 ΔQ に分割して、順を追って考えていきます。

まず、コンデンサーがまったく充電されていないとき、下の極板から上の極板へ ΔQ の電荷を移動させるための仕事の量は 0 です。まだ電場がないので電荷に力が加わりません重力の影響は無視します。閉じる。下の極板にいる -ΔQ との静電気力がはたらいている、とも考えられますが、どちらにしろ大きさはほぼ 0 です。

次にまた ΔQ の電荷を移動させるとすると、今度は先に移動した電荷による電場が存在します。Q = CV の関係で導かれる電位差があり、今度は移動に仕事が必要です。でもまだ電位差は小さいので必要な仕事も小さいです。

次にまた ΔQ の電荷を移動させるとすると、今度は先に移動した2つの電荷による電場が存在します。先ほどより少し電位差が大きく、移動のための仕事も先ほどより少し余計に掛かります。

3つ目以降も同様です。1つ前のときよりわずかに仕事が増えます。電位差が V' だとすると仕事は ΔQV' です。

最後の微小電荷 ΔQ を移動させたとき極板には合計 Q の電荷があります。このときの極板間の電位差は \(\large{\frac{Q}{C}}\) です。これを V とします。

このようにして考えていくと、仕事の総計は左のグラフの柱の面積の合計となります。

ΔQ の微小さをさらに小さくして考えていくとそれは左のグラフの三角形の部分の面積となります。

つまり求めるエネルギーは U = \(\large{\frac{1}{2}}\)QV です。

Q = CV の関係式を代入して別の表現をすれば、 U = \(\large{\frac{1}{2}}\)CV2 = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{Q^2}{C}}\) です。

コンデンサーの静電エネルギー

 U = \(\large{\frac{1}{2}}\)QV = \(\large{\frac{1}{2}}\)CV2 = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{Q^2}{C}}\)