円錐振り子

円錐振り子

円錐振り子の角速度を求める

長さ l [m] の糸の一端を固定し、他端に質量 m [kg] のおもりを吊るして、このおもりを水平面内で等速円運動させたときの円錐振り子糸の運動面が円錐(えんすい)形になるので「円錐振り子」です。

おもりを鉛直面内で振らせれば単振り子です。
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の運動について考えてみます。

鉛直線と糸とのなす角を θ [rad] 、糸の張力を S [N] 、角速度を ω [rad/s] 、重力加速度を g [m/s2] とし、糸は十分軽いものとします。

おもりが等速円運動をしているということは、糸がたるんだり、θ が変化したりすることはないということです。

 

おもりにはたらく力は張力 S と重力 mg です。

この2つの力の合力が向心力になっているのですが、鉛直方向と水平方向に別けて考えていきます。

鉛直方向について考えますと、
おもりが上にも下にも行かないのは、張力の鉛直成分 Scosθ と重力 mg がつり合っているからです。

  Scosθ = mg

∴ m = \(\large{\frac{S\cos\theta}{g}}\)  ……①

水平方向について考えますと、
張力の水平成分 Ssinθ向心力となって、おもりが等速円運動をしています。

  Ssinθ = mrω2  ……②

別の考え方として、

張力 S と反心力(あるいは遠心力mrω2 と重力 mg を合わせると 0 になるから、
 Scosθ = mg
 Ssinθ = mrω2
である、と立式することもできます。
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等速円運動の円の半径 rl を用いて表すことができます。

  r = lsinθ  ……③

 

②式に、①式と③式を代入します。

    Ssinθ = mrω2

       = \(\large{\frac{S\cos\theta}{g}}\)⋅lsinθω2

 ∴   1 = \(\large{\frac{\cos\theta}{g}}\)⋅lω2

 ∴  ω2 = \(\large{\frac{g}{l\cos\theta}}\)

 ∴   ω = \(\sqrt{\large{\frac{g}{l\cos\theta}}}\)

周期 T [s] も求めてみますと、

    T = \(\large{\frac{2\pi}{\omega}}\) = \(2\pi\sqrt{\large{\frac{l\cos\theta}{g}}}\)

解釈

上の ω の式を見てみますと、回転スピードは、おもりの質量 m と無関係であることが分かります微小振動の単振り子の周期』参照。
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。さらに、糸の長さ l が小さいほど、あるいは、角度 θ が大きい(=cosθ が小さい)ほど、回転スピードが速い、と分かります。

 おもりは  重くても軽くても回転スピードは変わらない。

 糸の長さは  短いときの方が回転スピードが速い。

 角度 θ は  大きいときの方が回転スピードが速い。周回半径が大きい上に回転スピードも速いということです。すなわちものすごい周回スピードになっているということです。ものすごいスピードでないと高い位置をキープできないのです。
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