単振動のエネルギー

保存されることは既に説明

力学的エネルギーというのは運動エネルギーと位置エネルギーの和のことであり、保存力のみがはたらく場合にこの量は保存されます。

単振動する物体（ばね振り子や単振り子など）において、力学的エネルギーが保存される（各瞬間の力学的エネルギーが一定である）ことを本項で説明しますが、保存されること自体は『ばね振り子の力学的エネルギー』項や『単振り子の力学的エネルギー』項＊『単振り子の力学的エネルギー』項は単振動ではないですが、単振動の場合に拡張することはできます。
　閉じるで既に説明しています。それらの項では v やら h やらが出てきましたが、本項は単振動関連の式を解析するので ω が出てきます。

単振動する物体の力学的エネルギー

運動エネルギー

単振動する物体の力学的エネルギーのうち、まず、運動エネルギーを求めてみます。E_k [J] とおきます。

　　　　E_k = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv²　　　v = Aωcosωt を代入

　　　　　 = \(\large{\frac{1}{2}}\)m(Aωcosωt)²

　　　　　 = \(\large{\frac{1}{2}}\)mω²A²cos²ωt　　……①

位置エネルギー

次に、位置エネルギーを求めてみます。E_u [J] とおきます。

といいましても、単振動の位置エネルギーというものはどう考えたらいいのでしょうか。それは弾性力による位置エネルギーと同じと考えます。

弾性力は　F = - kx　と表され、その弾性力による位置エネルギーは　U = \(\large{\frac{1}{2}}\)kx²　と表されます。

単振動の復元力は　F = - mω²x　あるいは　F = - Kx　と表され、その復元力による位置エネルギーは　U = \(\large{\frac{1}{2}}\)Kx²　と表されます＊つまりこれは、復元力というものは弾性力と同様、保存力であるということです。
　閉じる。

K という値は、ばね振り子の場合でしたら K = k であり、単振り子の場合でしたら K = \(\large{\frac{mg}{l}}\) であり、単振動一般であれば K = mω² ということになります。

つまり、単振動の位置エネルギー E_u は

　　　　E_u = \(\large{\frac{1}{2}}\)Kx²

　　　　　 = \(\large{\frac{1}{2}}\)mω²x²　　　x = Asinωt を代入

　　　　　 = \(\large{\frac{1}{2}}\)mω²(Asinωt)²

　　　　　 = \(\large{\frac{1}{2}}\)mω²A²sin²ωt　　……②

力学的エネルギー

①式、②式より、力学的エネルギー E [J] は

　　　　E = E_k + E_u

　　　　　= \(\large{\frac{1}{2}}\)mω²A²cos²ωt + \(\large{\frac{1}{2}}\)mω²A²sin²ωt

　　　　　= \(\large{\frac{1}{2}}\)mω²A²(cos²ωt + sin²ωt)　　　cos²θ + sin²θ = 1（詳しくは数学の教科書を見て下さい）だから

　　　　　= \(\large{\frac{1}{2}}\)mω²A²

この式は、mω² を K で表すと、

　　　　E = \(\large{\frac{1}{2}}\)KA²

と表せますし、あるいは ω = 2πf を代入すると、

　　　　E = \(\large{\frac{1}{2}}\)m(2πf)²A²

　　　　　= 2π²mf²A²

とも表せます。

この式の中に変位 x の文字が無いので、単振動のエネルギーは変位に関わらず一定（どの地点を通過しているときでも力学的エネルギーが一定）、ということが分かります。

さらに、単振動のエネルギーは振幅 A の2乗と振動数 f の2乗に比例することが分かります。