単スリット

単スリット

単スリットによる光の干渉

ヤングの干渉実験回折格子 において、スリットが2つの場合、多数の場合の光の干渉について説明しましたが、本項ではスリットが1つの場合の光の干渉について説明します。スリットが1つでは干渉しないのではないかと思われるかもしれませんが、実は干渉します。

左図のような装置において、単スリットのスリット幅がとても小さい場合、スクリーンに干渉縞が現れます。スリット幅が 1mm もあると、それは広すぎで、スクリーンにはただの点しか映りません。スリット幅を光の波長(5.0×10-7m)の数倍程度まで細めると、光はわずかに横に広がり、うっすらと縞模様が現れます。

明線・暗線の条件

ヤングの干渉実験』、『回折格子』と同じ要領で dλ の関係を求めてみます。スリットの間に12個の素元波があるとみなします。

dsinθ1 = λ のとき)
左図のように、スリット幅を d とし、A1~A12の各点から素元波が出ているとみなします。いま、スリットの上端をB0、スリットの下端をB12とし、
 |B0P1 - B12P1| = λ
を満たすようなP1θ1 を定めます。
|B0P1 - B12P1| というのは dsinθ1 だから、つまり、
 dsinθ1 = λ
となるようにP1θ1 を定めるということです。

A1~A12の各点からP1に向かって素元波が出ているわけですが、ここで、△B12B0Hに比べ \(\large{\frac{1}{2}}\)の相似の△三角形を考えますと、この△三角形の底辺の長さは \(\large{\frac{1}{2}}\)λ です。この△三角形を下に少しズラすと、頂点がA1とA7と一致します。このことにより、
 |A1P1 - A7P1| = \(\large{\frac{1}{2}}\)λ
とわかります。

ヤングの干渉実験』で説明したように、光路差 |A1P1 - A7P1| が \(\large{\frac{1}{2}}\)λ になるということは、A1からの波とA7からの波がP1で打ち消し合って暗くなるということです。

同様にして、A2とA8、A3とA9、A4とA10、A5とA11、A6とA12が打ち消し合います。結局全部打ち消し合って、P1は暗くなります。

つまり、dsinθ1 = λ を満たすような点P1は暗くなります。

ここで、A1とA12を見比べれば光路差がほぼ λ なのだから強め合ってP1で明るくなるのではないかと思ってしまうかもしれません。が、そうはなりません。A1の波の山とA12の波の山がP1で重なって大きな山ができそうですが、それと同時にA6の波の谷とA7の波の谷がP1で重なって大きな谷ができるからです。結局大きな山と大きな谷が重なって打ち消し合います。同様にA2、A11、A5、A8の4つも打ち消し合い、A3、A10、A4、A9の4つも打ち消し合います。

つまり、どのような組み合わせで考えても、dsinθ1 = λ のときは暗くなります。

dsinθ2 = \(\large{\frac{3}{2}}\)λ のとき)
次にもう少し角度をつけて、dsinθ2 = \(\large{\frac{3}{2}}\)λ の場合を考えます。

今度は、△B12B0Hに比べ \(\large{\frac{1}{3}}\)の相似の△三角形を考えますす。すると、この△三角形の底辺の長さは \(\large{\frac{1}{2}}\)λ です。この△三角形を下に少しズラすと、頂点がA1とA5と一致します。このことにより、
 |A1P2 - A5P2| = \(\large{\frac{1}{2}}\)λ
とわかります。つまり、A1から出てP2に達した波と、A5から出てP2に達した波は、互いに打ち消し合います。同様に、A2とA6、A3とA7、A4とA8も互いに打ち消し合います。そして、A9、A10、A11、A12が残ります。そして、P2は、この残った4つの波によって明るくなります。

別のいい方をしますと、A9、A10、A11、A12が残るというよりも、
 A1+A5+A9=山+谷+山=山
 A2+A6+A10=山+谷+山=山
 A3+A7+A11=山+谷+山=山
 A4+A8+A12=山+谷+山=山
という感じです。

というわけで、dsinθ2 = \(\large{\frac{3}{2}}\)λ を満たすような点P2は明るくなります。


ここまで、素元波が12個であると仮定して考えてきましたが、素元波が数百個であろうと数万個であろうと結果は同じで、dsinθ1 = λ を満たすような点は、2つ一組で打ち消し合って暗くなり、dsinθ2 = \(\large{\frac{3}{2}}\)λ を満たすような点は、\(\large{\frac{1}{3}}\)が残って明るくなります。

単色光を単スリットに通しスクリーンに当てると、光の強度分布は左図のようになります。真ん中の m=0 に相当する場所は、各点から出た素元波が強め合い、明るくなります。

以上まとめますと、回折格子の場合とほぼ逆になり、以下のようになります。

単スリット

 明線の条件  dsinθ = 0 , (m+\(\large{\frac{1}{2}}\)) λ

 暗線の条件  dsinθ = m λ

        (m = 1,2,…)

m は、「m = 0,1,2,…」ではなく、「m = 1,2,…」です。

回折格子と単スリット

この条件式を回折格子の場合の条件式と見比べると、単スリットをたくさん連ねて回折格子を作った場合、dsinθ = λ を満たす点ではいったい明るくなるのか暗くなるのか?という疑問がわくかもしれません。しかし、回折格子と単スリットはスケールがまったく違うものなので比較することができません。単スリットのスリット幅 d は回折格子のスリット幅に比べてはるかに微細なものです。dsinθ = λ という式において d がはるかに小さいとなると sinθ がはるかに大きくなるということですから、無理やり単スリットを連ねて回折格子を作っても、角度がつきすぎて干渉現象は起こりません(と思います)。