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面積の等しい2枚の金属板を距離 d だけ離して平行板コンデンサーをつくった。このコンデンサーに起電力 V0 の電池とスイッチSを図1のようにつないだ。スイッチSを閉じて十分に時間が経ったとき、コンデンサーに蓄えられた電荷を Q0 、静電エネルギーを W0 とする。

図 1

(問1)スイッチSを閉じたまま、コンデンサーの極板間の距離を 2d にひろげた。コンデンサーに蓄えられた電荷は Q0 の何倍になったか。

(問2)スイッチSを閉じたまま極板間の距離を d に戻し、十分に時間が経った後、スイッチSを開いた。その後、極板間の距離を 2d にひろげたとき、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーは W0 の何倍になったか。

(問3)再び極板間の距離を d に戻し、スイッチSを閉じて十分に時間が経った後、スイッチSを開いた。その後、極板間に比誘電率 2 の誘電体をすきまなく入れると極板間の電位差は V0 の何倍になったか。

#センター02本試

(問1)
C = \(\large{\frac{1}{4\pi k}\frac{S}{d}}\) の関係より、電気容量 C は極板間 d に反比例しますので、極板間が2倍になると電気容量は \(\large{\frac{1}{2}}\) になり、

Q = CV の関係より、電圧 V が一定で電気容量 C が \(\large{\frac{1}{2}}\) になると、電荷(電気量)Q は \(\large{\frac{1}{2}}\)倍 になります。(抱えきれない電荷が電池に戻っていくようなイメージです)

つまり、コンデンサーに蓄えられた電荷は Q0 \(\large{\frac{1}{2}}\)倍 になります。

 

(問2)
上のアニメーションで示したように、スイッチSを閉じたまま極板間を d に戻すと電荷(電気量)は元の Q0 に戻ります。

そして、スイッチSを開いてから

極板間の距離を広げても電気量は変化しません。電荷は逃げようがありません。

極板間が2倍になったので電気容量は \(\large{\frac{1}{2}}\) になり、

静電エネルギーには U = \(\large{\frac{Q^2}{2C}}\) という関係があり、Q の2乗に比例し C に反比例しますので、Q が一定で C が \(\large{\frac{1}{2}}\) になると、U は2倍になります。

つまり、静電エネルギーは W0 2倍 になります。

 

(あるいは)
Q = CV の関係より、電気量 Q が一定で電気容量 C が \(\large{\frac{1}{2}}\) になると、電圧 V は2倍になります。(電位差 V と電場 E と距離 d には V = Ed という関係があります。)

静電エネルギーには U = \(\large{\frac{1}{2}}\)QV という関係があるので、Q が一定で V が2倍になると、U は2倍になります。

 

(問3)
「再び極板間の距離を d に戻し」ても、上のアニメーションで示したように電気量は変わらず、「スイッチSを閉じて十分に時間が経った」ということは、これはこの問題の一番始めの状態に戻したということであり、「スイッチSを開いた」としても電気量は変わりません。Q0 ということです。

そして、「比誘電率 2 の誘電体をすきまなく入れると」、電気容量は2倍になり

Q = CV の関係がありますので、Q が一定で C が2倍になれば、V は \(\large{\frac{1}{2}}\) になります。

つまり、極板間の電位差は V0 \(\large{\frac{1}{2}}\)倍 になります。