qG7F1

図1のように、壁から水平に距離 L だけ離れた点Pから、水平からの角度45°、速さ v0 の初速度でボールを蹴り上げると、ボールは最高点に達した後、直接、壁にぶつかった。ただし、ボールの大きさと空気の抵抗を無視し、ボールの質量を m 、重力加速度の大きさを g とする。

図 1

(問1)ボールが壁にぶつかった点の高さ hLgv0 を用いて式で表わせ。

(問2)壁にぶつかる直前のボールの速さを v0gh を用いて式で表わせ。

(問3)qG7F2

#センター02本試

(問1)ボールが壁にぶつかった点の高さ hLgv0 を用いて式で表わせ。

斜方投射を表す式』を理解していれば簡単な問題です。水平成分と鉛直成分に分解して考えます。

 

初速度の水平成分は

  v0cos45° = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v0 斜方投射を表す式』の速度 vx = v0cosθ のことです。

であり、

この水平成分が L だけ進むのに掛かる時間を t と置きますと、

  t = \(\large{\frac{距離}{速さ}}\) = \(\large{\frac{L}{\frac{1}{\sqrt{2}}v_0}}\) = \(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\)

つまり、壁に衝突するまでの時間は t = \(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\) です。

 

初速度の鉛直成分は

  v0sin45° = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v0

であり、

この鉛直成分は鉛直上方投射運動をすると考えられ、t = \(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\) だけ時間が経ったときの高さは

    h = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\)gt2 斜方投射を表す式』の位置 y = v0sinθt - \(\large{\frac{1}{2}}\)gt2 のことです。

     = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v0⋅\(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\) - \(\large{\frac{1}{2}}\)g\(\big(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\big)\)2

     = L - \(\large{\frac{gL^2}{v_0^2}}\)

です。

(問2)壁にぶつかる直前のボールの速さを v0gh を用いて式で表わせ。

求める速さを v と置き、その水平成分を vx 、鉛直成分を vy とします。

(水平成分 vx は)
初速度の水平成分と変わらないから、

  vx = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v0  ……①

 

(鉛直成分 vy は)
鉛直上方投射』の t を含まない式( v2 - v02 = -2gy )を立てますと、

  vy2 - \(\big(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}v_0\big)\)2 = -2gh

∴ vy2 = \(\big(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}v_0\big)\)2 -2gh  ……②

 

(よって、v の大きさは)
三平方の定理より、

  v = \(\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}\)  ①、②を代入して

∴  = \(\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}}v_0)^2+(\frac{1}{\sqrt{2}}v_0)^2-2gh}\)

∴  = \(\sqrt{\frac{1}{2}{v_0}^2+\frac{1}{2}{v_0}^2-2gh}\)

∴  = \(\sqrt{{v_0}^2-2gh}\)

 

(別解:力学的エネルギー保存の法則を使って求めた方が、水平成分、鉛直成分に分解する必要がなくて楽)
点Pでボールを蹴った瞬間の力学的エネルギーは \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02 (位置エネルギーは 0 )  ……③

壁にぶつかる直前の力学的エネルギーは \(\large{\frac{1}{2}}\)mv2 + mgh  ……④

力学的エネルギー保存の法則により ③ = ④ であるから、

    \(\large{\frac{1}{2}}\)mv02 = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv2 + mgh

 ∴  mv02 = mv2 + 2mgh

 ∴  v02 = v2 + 2gh

 ∴  v2 = v02 - 2gh

 ∴  v = \(\sqrt{{v_0}^2-2gh}\)

と、同じ結果が楽に求められます。