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図1(a)のように、なめらかに動くピストンがついた断面積 S 、質量 M のシリンダーに 1mol の単原子分子理想気体を閉じ込め、シリンダーが鉛直に動くように、ピストンを天井に棒で固定した。気体はヒーターで温めることができる。ピストンとシリンダーは熱を通さず、それらの熱容量は無視できるものとする。最初、シリンダー内の気体の圧力は P 、温度は T 、体積は V であった。大気圧を P0 、気体定数を R 、重力加速度の大きさを g とする。

図 1

(問1)図1(a)の状態でシリンダーが静止しているとき、シリンダー内の気体の圧力 P を式で表わせ。

(問2)次に、シリンダー内の気体を温めると、シリンダーはゆっくりと下降し、図1(b)の状態でシリンダーは静止した。このときの温度は T + ⊿T であった。気体の内部エネルギーの増加分 ⊿U と、体積の増加分 ⊿V を表す式の組合せとして正しいものを、次の①~⑨のうちから一つ選べ。

⊿U ⊿V
\(\large{\frac{1}{2}}\)R⊿T \(\large{\frac{⊿T}{T}}\)V
\(\large{\frac{1}{2}}\)R⊿T \(\large{\frac{⊿T}{T+⊿T}}\)V
\(\large{\frac{1}{2}}\)R⊿T \(\large{\frac{T}{T+⊿T}}\)V
R⊿T \(\large{\frac{⊿T}{T}}\)V
R⊿T \(\large{\frac{⊿T}{T+⊿T}}\)V
R⊿T \(\large{\frac{T}{T+⊿T}}\)V
\(\large{\frac{3}{2}}\)R⊿T \(\large{\frac{⊿T}{T}}\)V
\(\large{\frac{3}{2}}\)R⊿T \(\large{\frac{⊿T}{T+⊿T}}\)V
\(\large{\frac{3}{2}}\)R⊿T \(\large{\frac{T}{T+⊿T}}\)V

 

(問3)図1(a)から(b)に変化する間に、ヒーターが気体に与えた熱量 Q を表す式として正しいものを、次の①~⑦のうちから一つ選べ。

① ⊿U + P⊿V  ② ⊿U + P0⊿V  ③ (P0 - P)⊿V  ④ ⊿U - P⊿V  ⑤ ⊿U - P0⊿V  ⑥ P⊿U  ⑦ ⊿U

#センター16追試物理

(問1)
この問題はピストンが固定されていてシリンダーが動くというものです。普通と逆です。

ピストンはなめらかに動くということなので引っ掛かりがあるわけではなく、シリンダーがスッポ抜けずに静止するということはシリンダー内が真空のような低圧状態になっているということです。

内部の空気分子が押す力より外部の空気分子が押す力の方が強いのでシリンダーを支えることができるということです。

このとき水平方向の力は考えません。シリンダーの鉛直方向の運動に無関係です。

シリンダーを内部の気体が押し下げる力は P × S であり、外部の気体が上に持ち上げる力は P0 × S であり、シリンダーに掛かる重力は Mg です。

シリンダーが静止しているということは力がつり合っているということであり、

  PS + Mg = P0S

が成り立っています。

両辺を S で割って、

    P + \(\large{\frac{Mg}{S}}\) = P0

 ∴   P = P0 - \(\large{\frac{Mg}{S}}\)

 

 

(余談:浮力?)
この問題は一瞬浮力の問題かな?と思いがちですが浮力は関係ありません。浮力は高さによって圧力が異なることで発生するもので、この問題においては高低による大気圧の違いは触れられていませんし密度についても触れられていないので高低による違いは無いとみなします。

 

(余談:厚み?)
問題文でシリンダーの厚みについて触れられておらず、厚みがあるとすると底面の大きさに違いが生じてしまいますが、

下から押される分は上からも押され相殺されるので問題ありません。

 

 

(問2)
温度が ⊿T だけ変化したときの nmol の単原子分子理想気体の内部エネルギー の変化量 ⊿Un

    ⊿Un = \(\large{\frac{3}{2}}\)nR⊿T

であり、本問の物質量は 1mol であるから

     ⊿U = \(\large{\frac{3}{2}}\)R⊿T

次にポイントとなるのは「ゆっくり」と下降したということで、これはつまり加速したりせずに力がつり合いながら動いたということであり、圧力の大きさは問1のままということです。

状態(a)から状態(b)へ

  PP
  TT + ⊿T
  VV + ⊿V

と変化したわけですのでボイル⋅シャルルの法則(シャルルの法則)の式を立てますと、

    \(\large{\frac{PV}{T}}\) = \(\large{\frac{P(V+⊿V)}{T+⊿T}}\)

 ∴  \(\large{\frac{V}{T}}\) = \(\large{\frac{V+⊿V}{T+⊿T}}\)

 ∴  V(T + ⊿T) = T(V + ⊿V)

 ∴  V⊿T = T⊿V

 ∴   ⊿V = \(\large{\frac{⊿T}{T}}\)V

答えはです。

 

 

(問3)
気体のした仕事を W と置くと熱力学第1法則の式は

    Q = ⊿U + W

です。

そして仕事 W というのは圧力と体積の変化量を掛けたものだから、

    W = P⊿V

よって、

     Q = ⊿U + P⊿V

答えはです。

 

気体は熱量(Q)を与えられ、温度が上がり(⊿T⊿U)、膨張して仕事をした(P⊿V)、という意味の式です。