実効値_補足

実効値の補足

交流の平均値の求め方

本編で紹介した交流の平均値(絶対値平均)の求め方を説明します。

V = V0 sinωt [V] で表される交流電圧の負の部分を正に置き換えますと、

このようになります。

このグラフの各瞬時値の平均を求めるということは、この曲線と t 軸で囲まれる部分の面積を求めて、

平らにならして、横方向の長さで割って、縦の高さを求めるということです。

半周期分の面積 S を積分を使って求めてみます。

    S = \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{T}{2}}\)V0 sinωt dt

     = V0\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{T}{2}}\)sinωt dt     sinax の積分は -\(\large{\frac{1}{a}}\)cosax

     = V0\(\Bigl[-\frac{1}{ω}\cosωt\Bigr]^{\frac{T}{2}}_0\)

     = - \(\large{\frac{V_0}{ω}}\)\(\Bigl[\cosωt\Bigr]^{\frac{T}{2}}_0\)

     = - \(\large{\frac{V_0}{ω}}\)\(\Bigl(\)cosω\(\large{\frac{\small{T}}{2}}\) - cos0\(\Bigr)\)     ωT = 2π を代入

     = - \(\large{\frac{V_0}{ω}}\)\(\Bigl(\)cos\(\large{\frac{2π}{2}}\) - cos0\(\Bigr)\)

     = - \(\large{\frac{V_0}{ω}}\)\(\Bigl(\)cosπ - cos0\(\Bigr)\)

     = - \(\large{\frac{V_0}{ω}}\)(- 1 - 1)

     = - \(\large{\frac{V_0}{ω}}\)(- 2)

     = 2\(\large{\frac{V_0}{ω}}\)     ω = \(\large{\frac{2π}{T}}\)を代入

     = 2\(\large{\frac{V_0T}{2π}}\)

     = \(\large{\frac{V_0T}{\Large{π}}}\)

この面積 S = \(\large{\frac{V_0T}{π}}\) を横の長さ \(\large{\frac{T}{2}}\) で割りますと、

高さが \(\large{\frac{V_0T}{π}}\)÷\(\large{\frac{T}{2}}\) = \(\large{\frac{V_02}{π}}\) = \(\large{\frac{2}{π}}\)V0 と割り出せます。

というわけで、V = V0 sinωt の平均値(絶対値平均)は最大値 V0 の \(\large{\frac{2}{π}}\)倍です。


P = I0V0 sin2ωt のグラフ

P = I0V0 sin2ωt のグラフの波の形がなぜこのようになるか、説明します。

具体的な例を挙げてみますと、たとえば、

y = 3sinxx = 1.5 のときの値は y ≒ 3.0 で、

y = 2sinxx = 1.5 のときの値は y ≒ 2.0 で、

y = (3sinx)×(2sinx) = 6sin2xx = 1.5 のときの値は y ≒ 6.0 で、これは上の2つの値を掛けた 3.0×2.0 の値です。

さらにたとえば、

y = 3sinxx = 3.4 のときの値は y ≒ -0.77 で、

y = 2sinxx = 3.4 のときの値は y ≒ -0.51 で、

y = (3sinx)×(2sinx) = 6sin2xx = 3.4 のときの値は y ≒ 0.39 で、これは (-0.77)×(-0.51) の値です。

別の観点から考えるとすれば、P = I0V0 sin2ωt の式を変形してしまった方が分かりやすいかもしれません。三角関数の2倍角の公式 cos2α = 1 - 2sin2α を使います 2倍角の公式は加法定理から導くことができます。

  sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
  sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
  cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
  cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

加法定理の4つの式のうち3番目の式において α = β とおきます。

  cos(α + α) = cosαcosα - sinαsinα
    cos(2α) = cos2α - sin2α
        = (1 - sin2α) - sin2α
        = 1 - 2sin2α

変形しますと、

  sin2α = \(\large{\frac{1}{2}}\) - \(\large{\frac{1}{2}}\)cos2α

です。
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。すると、

    P = I0V0 sin2ωt

     = I0V0 (\(\large{\frac{1}{2}}\) - \(\large{\frac{1}{2}}\)cos2ωt)

となりますが、この式のグラフがどのようになるか考えてみます。(\(\large{\frac{1}{2}}\) - \(\large{\frac{1}{2}}\)cos2x) のグラフについて探ります。

まず、y = sinx のグラフはこうです。

次に、cosx = sin(x + \(\large{\frac{π}{2}}\)) の関係から、

y = cosx のグラフは y = sinx を \(\large{\frac{π}{2}}\) だけ左にずらしたものといえます。

そして、周期を半分にしたものが、

y = cos2x

そして、振幅を半分にしたものが、

y = \(\large{\frac{1}{2}}\)cos2x

そして、上下反転させたものが、

y = - \(\large{\frac{1}{2}}\)cos2x

そして、上に \(\large{\frac{1}{2}}\) だけずらしたものが、

y = \(\large{\frac{1}{2}}\) - \(\large{\frac{1}{2}}\)cos2x

つまり、これが y = \(\large{\frac{1}{2}}\) - \(\large{\frac{1}{2}}\)cos2x = sin2x のグラフであり、すなわち、

P = I0V0 sin2ωt の波の形はこのようになる、ということです。


実効値の係数は波の形を示唆している

V = V0 sinωt で表される交流電圧の実効値は Ve = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}\ }}\)V0 であるわけですが、これは位相でいうと \(\large{\frac{π}{4}}\) 、\(\large{\frac{3}{4}}\)π 、… のときの値です。

単位円で描くと左図のような位置です。\(\large{\frac{1}{\sqrt{2}\ }}\) というのは sin\(\large{\frac{π}{4}}\) という意味でもあります。

sin\(\large{\frac{π}{4}}\) の位置で、電圧と電流を掛けた電力の値が平均の値になるというのは、sin関数独特の現象です。\(\large{\frac{1}{\sqrt{2}\ }}\) という係数は、交流電圧の変化の仕方がsinカーブを描くということを示唆しています。

電圧の変化の仕方がsinカーブを描かない場合、たとえば矩形波(くけいは)を描く場合は、実効値は最大値と同じになります。Ve = V0 です。別の書き方をすれば Ve = \(\large{\frac{1}{\sqrt{1}\ }}\)V0 です。


 このような曲線(電圧)と

 このような曲線(電流)を掛け合わせると

 このような曲線(電力)になります。平均値=最大値 です。
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あるいは、電圧の変化の仕方が三角波を描く場合は、実効値は最大値の \(\large{\frac{1}{\sqrt{3}\ }}\)倍、つまり Ve = \(\large{\frac{1}{\sqrt{3}\ }}\)V0 となります。


 このような曲線(電圧)と

 このような曲線(電流)を掛け合わせると

 このような曲線(電力)になります。そして、平均値= \(\large{\frac{1}{3}}\)×最大値 です。( ヒント:x2 を積分すると \(\large{\frac{1}{3}}\)x3 です。)
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このように実効値の係数は波の形を示唆しています。統計学的にいえば分散の度合いを示しています。

さらに、この係数は絶対値平均の係数より常に大きくなっています。たとえば、\(\large{\frac{1}{\sqrt{2}\ }}\) というのは 約0.707 であり、本編あるいは当ページ上方で示した絶対値平均の係数 \(\large{\frac{2}{π}}\) ≒ 0.637 より大きくなっています。