鉛直投射

鉛直下方投射

鉛直下方投射の式とグラフ

手に持った鉄球を初速度 0 でそっと離して重力の力にまかせて落下させるような運動を自由落下運動といいますが、このとき、鉛直下向きに初速を与えた運動を鉛直下方投射といいます。真下に投げ下ろす運動です。

等加速度直線運動の式を自由落下運動の式に書き換える際に、v0 ⇒ 0 としたところを v0 のままにしたものが鉛直下方投射を表す式になります。鉛直向きが正です。

鉛直下方投射

      速度  v = v0 + g t

      変位  y = v0t + \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 - v02 = 2 g y

点線は自由落下運動v0=0)の場合のグラフです。


鉛直上方投射

鉛直上方投射の式とグラフ

鉛直下方投射とは逆に、鉛直上向きに初速を与えた運動を鉛直上方投射といいます。真上に投げ上げる運動です。始め、上方に向かい、スピードが落ちていき、やがて静止し、向きを変えて下向きに落ちていき、スピードが増していく運動です。

等加速度直線運動を表す式

  v = v0 + a t

  x = v0t + \(\large{\frac{1}{2}}\)at2

  v2 - v02 = 2ax

において、v0 をそのまま、a ⇒ - g とし、x軸をy軸に変えて、鉛直向きを正としたものが鉛直上方投射を表す式になります。(もし鉛直向きを正としたいならば、g に - を付けないで v0 に - を付けます。)

鉛直上方投射

      速度  v = v0 - g t

      変位  y = v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 - v02 = - 2 g y

この式は上の鉛直下方投射の式の g に - を付けたものになっています。逆にいいますと、鉛直下方投射の式は鉛直上方投射の式に統合することができます。鉛直向きを正とし、v0 が負の値(初速が下向き)もとることとすれば、上式は鉛直下方投射も表していることになります。

鉛直上方投射のグラフは『等加速度直線運動』の『加速度が負の場合』のグラフと同じです。


分析

上式を分析してみます。

最高点に達したときの時間を t1 とすると、このときの速度 v は 0 だから上昇していきながら徐々にスピードが遅くなり、スピードが 0 になったときに、もうそれ以上、上にいけなくなるのだから、そのときが最高点。閉じる、速度の式は、

    v = 0 = v0 - g t1

 ∴  t1 = \(\large{\frac{v_0}{g}}\)

初速度 v0 が大きいほど最高点に達するまでの時間が掛かるということです。あたりまえですが。

次に、最高点を y1 とし、t1=\(\large{\frac{v_0}{g}}\) を変位の式に代入してみますと、

    y = v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t2

 ⇒  y1 = v0 \(\bigl(\large{\frac{v_0}{g}}\bigr)\) - \(\large{\frac{1}{2}}\) g\(\bigl(\large{\frac{v_0}{g}}\bigr)^2\)

      = \(\large{\frac{{v_0}^2}{g}}\) - \(\large{\frac{{v_0}^2}{2g}}\)

      = \(\large{\frac{{v_0}^2}{2g}}\)

これは、t を含まない式 v2 - v02 = - 2 g y に v=0 を代入しても求まります。

倍のスピードで投げ上げると4倍の高さまで上がります。

さらに、上がって下がって再びスタート地点に戻ってくるまでの時間(t2 とします)を求めてみます。変位の式において y=0 とおきますと、

    y = v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 ⇒  y = 0 = v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2 = t ( v0 - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t )

 ∴  t = 0 , \(\large{\frac{2v_0}{g}}\)

t = 0 というのはスタートしたときの時間ですから、求める時間は t2 = \(\large{\frac{2v_0}{g}}\) 。

この時間は t1 = \(\large{\frac{v_0}{g}}\) と比べると倍でありますから、つまりこれは、最高点に達するまでの時間と、最高点からスタートの位置に戻るまでの時間は等しい、ということを意味します。

また、 t2 = \(\large{\frac{2v_0}{g}}\) を速度の式に代入しますと、

    v = v0 - g t

 ⇒  v = v0 - g \(\bigl(\large{\frac{2v_0}{g}}\bigr)\)

     = v0 - 2 v0

     = - v0

これはつまり、再びスタート地点に戻ってきたときの速度は、大きさが初速度と同じで向きが逆、とうことです。

斜方投射2』もご参照ください。

見比べ

各式をよ~く見比べてみてください。正負がややこしいです。試験問題を解くときは、正の方向を一度決めたら最後まで貫き通してください。解答を得たら検算して矛盾がないかよく確かめてください。『斜方投射1_補足』の『見比べ』もご覧ください。

等加速度直線運動

         v = v0 + a t

         x = v0t + \(\large{\frac{1}{2}}\)at2

         v2 - v02 = 2ax

自由落下運動鉛直向きが正

      速度  v = g t

      変位  y = \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 = 2 g y

鉛直下方投射鉛直向きが正

      速度  v = v0 + g t

      変位  y = v0t + \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 - v02 = 2 g y

鉛直上方投射鉛直向きが正

      速度  v = v0 - g t

      変位  y = v0t - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 - v02 = - 2 g y

 鉛直向きが正

      速度  v = - v0 + g t

      変位  y = - v0t + \(\large{\frac{1}{2}}\)g t2

 t を含まない式 v2 - v02 = 2 g y