凹レンズ

凹レンズ

3つの量の関係を求める

凸レンズの場合と同じように、凹レンズにおける

  物体とレンズとの距離:a
  レンズと像との距離:b
  焦点距離:f

の関係を考えてみます。

凹レンズのつくる像

左図にように、物体から凹レンズまでの距離を a 、凹レンズから像までの距離を b 、凹レンズの焦点距離を f とします。

左図の赤線は、レンズによる像(凹レンズ) の(1)、(2)にのっとった線です。(3)にのっとった線は必要ないので描いてません。

△AA'O△BB'O は相似だから、

    \(\textcolor{#b63}{\large{\rm{\frac{BB'}{AA'}}}}\) = \(\large{\rm{\frac{B'O}{A'O}}}\) = \(\large{\frac{b}{a}}\)  ……①

また、AA'=PO であり、△POF1△BB'F1 が相似であるから、

    \(\textcolor{#b63}{\large{\rm{\frac{BB'}{AA'}}}}\) = \(\large{\rm{\frac{BB'}{PO}}}\) = \(\large{\rm{\frac{B'F_1}{OF_1}}}\) = \(\large{\frac{f\ -\ b}{f}}\)

よって、

    \(\large{\frac{b}{a}}\) = \(\large{\frac{f\ -\ b}{f}}\)

       = 1 - \(\large{\frac{b}{f}}\)   (両辺を b で割って)

 ∴  \(\large{\frac{1}{a}}\) = \(\large{\frac{1}{b}}\) - \(\large{\frac{1}{f}}\)

 ∴  \(\large{\frac{1}{a}}\) - \(\large{\frac{1}{b}}\) = - \(\large{\frac{1}{f}}\)  ……②

f > 0 であるから上式の左辺は負。

    \(\large{\frac{1}{a}}\) - \(\large{\frac{1}{b}}\) < 0

 ∴  \(\large{\frac{1}{a}}\) < \(\large{\frac{1}{b}}\)   (b>0 であるから)

 ∴  \(\large{\frac{b}{a}}\) < 1

m = \(\large{\frac{b}{a}}\) であるので、すなわち m < 1 、つまり、倍率が常に 1.0 より小さい、ということです。凹レンズでは像が常に縮小されるのです。拡大鏡としては使えません。

凹レンズの場合は、物体を焦点より近くに置いても遠くに置いても、正立像の虚像(BB')ができます。(前項の凸レンズの場合に比べれば単純です。)


レンズの公式のまとめ

凸レンズの式と凹レンズの式はまとめられる

前項の凸レンズにおいて、②式と④式をまとめて⑤式とすることができましたが、さらにこの⑤式は本項の②式と統合させることができます。⑤式において bf を負としたものが、本項の②式である、と考えるのです。

bf が正の値のみをとると定めた場合に、

  \(\large{\frac{1}{a}}\) + \(\large{\frac{1}{\textcolor{blue}{b}}}\) = \(\large{\frac{1}{\textcolor{blue}{f}}}\)  ……前項② 凸レンズ、焦点より遠く

  \(\large{\frac{1}{a}}\) - \(\large{\frac{1}{\textcolor{blue}{b}}}\) = \(\large{\frac{1}{\textcolor{blue}{f}}}\)  ……前項④ 凸レンズ、焦点より近く

  \(\large{\frac{1}{a}}\) - \(\large{\frac{1}{\textcolor{blue}{b}}}\) = - \(\large{\frac{1}{\textcolor{blue}{f}}}\)  ……本項② 凹レンズ

となるこの3パターンを統合するということです。
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レンズの公式写像公式

 \(\large{\frac{1}{a}}\) + \(\large{\frac{1}{b}}\) = \(\large{\frac{1}{f}}\)

 倍率 m = \(\large{\frac{|b|}{a}}\)

 物体とレンズとの距離 a:常に正
  レンズと像との距離 b:レンズ後方は正、レンズ手前は負
       焦点距離 f:凸レンズは正、凹レンズは負

(レンズ後方とは、物体から見てレンズの向こう側。レンズ手前とは、物体から見てレンズのこちら側。)

表にまとめてみます

凸レンズ 凹レンズ
f の正負 f >0 とする f <0 とする
物体の位置 a 焦点より遠くa>f 焦点より近くa<f 焦点との位置に無関係
a と 2 f a>2 f a=2 f a<2 f
ab a>b a=b a<b a<|b| a>|b|
倍率 m m<1 m=1 m>1 m>1 m<1
像の位置 b レンズ後方。b>0とする レンズ手前。b<0とする レンズ手前。b<0とする
像の種類 倒立 _ 実像 大きい _ 正立 _ 虚像 小さい _ 正立 _ 虚像