弦の振動

固有振動

物体にはそれぞれ振動しやすい固有の振動数があり、その物体に衝撃を与えて放っておくとその振動数で振動を続けます。固有振動といいます。固有振動しているときの振動数を固有振動数といいます。

石をハンマーで叩くと石によって色々な高さの音を発しますが、そのときの音の高さがその石の固有振動数です。単振り子はその長さによって固有振動数が決まっています。ブランコも、ひもの長さによって固有振動数が決まっています。体重が軽い人が乗っても重い人が乗っても揺れる周期は変わりません(あくまでも理論上の話です)。機械式メトロノームは支点から重りまでの長さを調整することによって固有振動数を変えて目的のテンポを打ち出す装置です。ピンと張った弦はその長さや張力や材質によって固有振動数が決まっています。

弦の振動

弦の振動は両端が節

ピンと張った弦を弾くと、横波が発生し、両端で反射し、重なり合い、定常波ができます。弦が空気を振動させてを出したとき、一定の高さの音が出ます。

弦というものは両端が固定されているので、定常波の形は左図のようなパターンになります。両端がとなるような波長の波は残り、そうでない波長の波は消えていきます。

これらの波のうち、腹が1つの振動を基本振動、腹が2つの振動を2倍振動、腹が3つの振動を3倍振動、…といいます。弦の固有振動数は複数あり、それらの振動は同時に起こっています複数の振動が同時に起こっているので波形は複雑になりますが、一番波形がハッキリしているのは基本振動です。それ以外は振幅がとても小さい波形です。
弦の長さの¼に当たる部分を強く弾けば、2倍振動の波形が比較的大きく現れるはずです。
弦を強くピンと張れば、ほぼ基本振動の波形しか見えなくなるはずです。
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(注意して欲しいのが、1波長というのはではなくであることです。は½波長です。弦の振動の形は½波長の自然数倍です。 )

弦の長さと波長の関係

弦の長さと波長の関係を求めてみます。弦の長さを l [m] 、n倍振動(n=1,2,3,…)での波長を λn [m] とします。

賢い方は暗算で求められるかもしれません。

λ1 = 2l というのは、
ということですし、

λ2 = \(\large{\frac{2l}{2}}\) というのは、
ということですし、

λ3 = \(\large{\frac{2l}{3}}\) というのは、
ということです。
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弦の長さと波長の関係

λn = \(\large{\frac{2l}{n}}\)   (n=1,2,3,…)

弦の固有振動数

弦を伝わる波の速さを v [m/s] とすると、v = f λ ですので、この式に上式を代入して振動数 fn [Hz] を求めると、

    fn = \(\large{\frac{v}{\ \lambda_n}}\) = \(\Large{\frac{v}{\ \frac{2l}{n}}}\) = \(\large{\frac{v}{2l}}\normalsize{n}\)

この式をよく見ますと、vl は定数なので、n が2倍になると fn も2倍になる、すなわちこれは、n倍振動の振動数は基本振動の振動数の n倍である、ということがわかります。(弦を弾いて 440Hz の音を出したとき、880Hz、1320Hz、1760Hz、…の音も小さいですが同時に出ています。)

また、弦を伝わる波の速さというのは、弦の張力を S [N]、1m 当たりの質量(線密度)を ρ [kg/m] とすると、

    v = \(\large{\sqrt{\frac{S}{\rho}}}\)

という式で与えられますρ は ロー と読みます。ギリシャ文字です。小文字です。張力の S は大文字を用いることが多いです。

v = \(\large{\sqrt{\frac{S}{\rho}}}\) の式の導出はここでは説明しません。難解というわけではありませんがかなり面倒です。おおまかにいうと、張力が大きいと弦の復元力も大きくなり弦の振れ戻りが速くなり波が速く伝わり、また、弦が重い(密度が大きい)と慣性が大きくなり弦の振れ戻りが遅くなり波が遅くなる、という感じです。詳しいことは「弦 波 速さ」などのキーワードで検索して調べてみてください。
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。この式を上式に代入します。

    fn = \(\large{\frac{v}{2l}}\normalsize{n}\) = \(\large{\frac{n}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}}\)

弦の固有振動数

fn = \(\large{\frac{n}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}}\)   (n=1,2,3,…)

この式から、fn を大きくする(音を高くする)には、

  • 弦の長さ l を小さくする。(ギターでは、根元に近いフレットを押さえた方が音が高くなる。)
  • 張力 S を大きくする。(ギターでは、調律するときペグを巻き上げた方が音が高くなる。)
  • 線密度 ρ を小さくする。(ギターでは、弦が軽い方が音が高い。)

ということがわかります。