qGCG2

（問3）

木片が台から受ける垂直抗力を N としますと、

　　N = Mg

また、グラフから読み取れるのは、おもりの質量 m が 0 のときは木片はまったく動かず、m をだんだん重いものに変えていって m₁ にしたときに突然動き出した、ということです。加速度 a が 0 というのは動かないということで、m₁ のところで加速度が急に跳ね上がっているのは、突然に動き出したということです。

動き出すかどうかぎりぎりのときの張力を T₁ としますと、

　　　　T₁ = m₁g

このときの摩擦力（最大静止摩擦力）は

　　　　μN = μMg

動き出すかどうかぎりぎりのときというのは張力と摩擦力が同じ大きさになっているから、

　　　　T₁ = μN

　⇔　　m₁g = μMg

　∴　　μ = \(\large{\frac{m_1}{M}}\)

（余談）
静止摩擦係数は木片の質量とおもりの質量の比になっています。このことは斜面の縦横比から静止摩擦係数が求められることと似ています。

このときの動摩擦力は

　　μ'N = μ'Mg

木片の加速度の向きと張力の向きが同じで、動摩擦力の向きが反対であることに気を付けて木片の運動方程式を立てると、

　　　　Ma = T - μ'Mg

問4で求めた　Ma = T - μ'Mg　という式は木片が動くときの一般的な式です。a というのは変数で、いろいろな値をとります。本問はそのうちの a₂ という特定の値をとる場合の話です。

すなわち加速度が a₂ のときの木片の運動方程式は、問4で求めた式に a₂ を代入して、

　　　　Ma₂ = T - μ'Mg

一方おもりについての運動方程式は

　　　　m₂a₂ = m₂g - T　　（qGCG1 の問1の②式と同じ式です）

この2式の両辺を足し合わせて T を消去しますと、

　　　　Ma₂ + m₂a₂ = T - μ'Mg + m₂g - T

　∴　　(M + m₂)a₂ = - μ'Mg + m₂g

　∴　　μ'Mg = m₂g - (M + m₂)a₂

　∴　　μ' = \(\large{\frac{m_2g-(M+m_2)a_2}{Mg}}\)

（余談）
問3で求めた静止摩擦係数と比べるととても複雑です。解の中に a₂ が含まれています。動摩擦係数を求めるには M や m だけでなく a も測定しなければならないということです。また、『動摩擦力』において、速度が変化しても動摩擦力は変化しないと説明しましたが、この場合の動摩擦力も変化しません。

問5では m₂ 、a₂ という特定の値についての運動方程式を立てましたが、本問では任意の値についての運動方程式を立てます。

まず木片については、（問4より）

　　　　Ma = T - μ'Mg

おもりについては、

　　　　ma = mg - T

2式の両辺を足し合わせて T を消去し、（問5では μ' を求めましたが）、a を求めます。

　　　　Ma + ma = T - μ'Mg + mg - T

　∴　　(M + m)a = (- μ'M + m)g

　∴　　a = \(\large{\frac{-μ'M+m}{M+m}}\)g

これが何に近づいていくのか予測するため 1 + \(\large{\frac{△}{○}}\) の形を作ります。分母分子を m で割ります。

　　　　a = \(\large{\frac{-\frac{μ'M}{m}+1}{\frac{M}{m}+1}}\)g

m を大きくしていくと \(\large{\frac{M}{m}}\) が 0 に近づいていき、上式は

　　　　a = \(\large{\frac{-0+1}{0+1}}\)g = g

に近づいていきます。

答えは g です。

これはどういうことかというと、

問題文のグラフにおいて m が大きくなっていくと a が g に近づいていくということです。

おもりをだんだん重いものに載せ替えていくと加速度は重力加速度に近づいていき、それを超えることはないということです。木片 M がとても軽くて、おもり m がとても重かったりすれば、摩擦の影響はほとんど無くなり、重力にまかせて落下していくという考えてみれば当たり前のことです。