深い海の水面を伝わる波の速さ v は、波長 λ と重力加速度の大きさ g を使って、
v2 = \(\large{\frac{1}{2π}}\)gpλq
という関係式で与えられる。ここで、π は円周率である。p と q の数値の組合せとして正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選べ。ただし、国際単位系（SI）では速さの単位は m/s 、波長の単位は m 、重力加速度の単位は m/s2 である。
① p=1、q=1 ② p=1、q=2 ③ p=2、q=1 ④ p=1、q=3 ⑤ p=2、q=2 ⑥ p=3、q=1
#センター08本試
選択肢をみると、p や q の 1乗、2乗などとなっていますので、この問題は単位の演算の問題です。波の問題ではありません。与えられた式の左右の単位を見比べて、単位を揃えるには p や q はそれぞれ何乗でなければならないか、という問題です。
左辺の v2 の単位は
[m/s]2 = \(\large{\frac{[\rm{m}]^2}{[\rm{s}]^2}}\)
右辺の \(\large{\frac{1}{2π}}\)gpλq の単位は
[m/s2]p × [m]q = \(\large{\frac{[\rm{m}]^p}{[\rm{s}]^{2p}}}\) × [m]q = \(\large{\frac{[\rm{m}]^{p+q}}{[\rm{s}]^{2p}}}\) \(\large{\frac{1}{2π}}\) というのは定まった数値で単位はありません。
左辺の単位と右辺の単位が揃うには
2 = p + q
2 = 2p
でなければならず、この連立方程式を解くと、
p = 1 、q = 1
となり、問題文の式は
v2 = \(\large{\frac{1}{2π}}\)gλ
となります。
答えは ① です。
この式は暗記する必要はありません。