図1のように、長さ l の一様な棒ABの端Aに糸を結び、この糸の他端を鉛直に立てた杭CD上の点Pにつなぎ、棒を杭の上に置いたところ、棒は水平になり静止した。このとき棒が杭と接する点Cは点Aから距離 \(\large{\frac{l}{4}}\) にあり、糸が杭となす角度は θ であった。
（問1）点Cで杭が棒に及ぼす力の方向として最も適当なものを、次の①～⑧のうちから一つ選べ。
（問2）棒ABの質量を M とするとき、糸の張力 T はいくらか。ただし、重力加速度の大きさを g とする。
#センター04本試
（問1）
糸の張力を T 、棒ABの質量を Mとしますと、棒に及ぼす力のうち分かっているものは左図のような T と Mg です（一様な棒の重心はその中点にあります。）。
あともう一つの力は点Cからの力であり、棒ABが動かないためには、これは上向きの力であるはずです。
そして、張力 T が若干右を向いてますので、点Cからの力はちょっと左を向いているはずです。
というわけで点Cから棒ABに及ぼす力の方向として最適なのは ⑧ です。
（余談）
棒ABに掛かる3つの力は、合わせると 0 になりますし、数珠つなぎにすると閉じた三角形ができます。
（問2）
点Cの回りの力のモーメントのつり合いを考えます。
Mg の位置は点Cから \(\large{\frac{l}{4}}\) です。
張力 T の点Cに対する垂直成分は Tcosθ です。
力のモーメントは（力の垂直成分）×（腕の長さ） ですから、力のモーメントのつり合いの式は
Tcosθ × \(\large{\frac{l}{4}}\) = Mg × \(\large{\frac{l}{4}}\)
であり、
∴ Tcosθ = Mg
∴ T = \(\large{\frac{Mg}{\cosθ}}\)
と求められます。
（余談）
ここまで求まると、紫の矢印の力（Fc）の大きさも求まります。鉛直成分と垂直成分に分けて、力のつり合いを考えます。
Fc の鉛直成分 = Tcosθ + Mg = Mg + Mg = 2Mg
Fc の水平成分 = Tsinθ = \(\large{\frac{Mg}{\cosθ}}\)sinθ = Mgtanθ
ここから三平方の定理を用いれば Fc の大きさが求まります。
また、もしAC間の距離がもっと小さくて \(\large{\frac{l}{8}}\) だったりしたら、上の
Tcosθ × \(\large{\frac{l}{4}}\) = Mg × \(\large{\frac{l}{4}}\)
の式が
Tcosθ × \(\large{\frac{l}{8}}\) = Mg × \(\large{\frac{3}{8}}\)l
となり、T や Fc がとても大きくなります。テコの原理です。
逆に、AC間の距離が \(\large{\frac{l}{2}}\) だったりしたら T は 0 となります。