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なめらかな斜面上での小物体の運動を考えよう。空気抵抗は無視できるものとする。

(問3)図2に示すように、斜面上の点Pで小物体を時刻 t = 0 で静かに放したところ、小物体は斜面を滑り落ちた。小物体の速度の変化を表すグラフとして最も適当なものを、下の①~④のうちから一つ選べ。ただし、斜面に沿って下向きを速度の正の向きとする。

図 2
    

(問4)図3(a)〜(c)に示すように、斜面上の点Pから、3通りの方法で小物体を運動させた。その後、いずれの場合も小物体は点Pより下方の点Qを通過した。(a)〜(c)の場合の点Qでの速さを、それぞれ、vavbvc とする。vavbvc の大小関係として最も適当なものを、下の①~⑥のうちから一つ選べ。

 
(a) 斜面に沿って上向きに速さ v で打ち出す。
 
(b) 斜面に沿って下向きに速さ v で打ち出す。
 
(c) 斜面上で静かに放す。
図 3

va > vb > vc  ② vc > vb > va  ③ va > vc > vb  ④ vb > vc > va  ⑤ va = vb = vc  ⑥ va = vb > vc

#センター15本試物理基礎

(問3)
小物体には重力が掛かり、その力によって加速していくわけですが、その力は一定であり、摩擦も無いので、すなわち運動方程式より、加速度も一定です。加速度が一定ということは、等加速度直線運動あるいは自由落下運動のように、速度は一定の割合で大きくなっていきます。

答えはです。

 

③と間違えやすいですが、③は速度でなく変位を表すグラフです。

 

 

(問4)
小物体の質量を m 、小物体の斜面方向の加速度を a 、重力加速度を g 、斜面の仰角を θ としますと、小物体に掛かる重力は mg で、運動方向の成分mgsinθ であり、運動方程式を立てますと、

    mgsinθ = ma

 ∴  a = gsinθ

となりますが、g の値は一定であるので gsinθ も一定であるわけです。そうしますとこの運動は鉛直投射運動において、ggsinθ としたもの、と考えることができます。(たとえば sinθ=0.6 なら g を 0.6g に変更しただけのもの。あるいは単なる等加速度直線運動、と考えてもいいです。)

下向きを正としますと鉛直投射の速度の式は

    ( v = v0 + gt

と表わせますが、点Qを通過するときの速度を vq として、この問題に合わせて表現し直すと、

    vq = v + g(sinθ)t

となり、『鉛直投射』項の『分析』において説明したように、上向きに速さ v で打ち出されたものは、速さ v で再びスタート地点に戻ってくるので、これはつまり (a) と (b) では速度が全く同じになるということです。すなわち、

    va = v + g(sinθ)t

    vb = v + g(sinθ)t

です。

そして、(c) は初速が 0 であるわけですから、

    vc = g(sinθ)t

です。

    v + g(sinθ)t = v + g(sinθ)t > g(sinθ)t

であるので、

答えはva = vb > vc です。