気体分子の運動

気体分子運動論

容器に入れられた気体の圧力は、個々の気体分子の運動によって引き起こされるものです。無数の分子の絶え間ない壁への衝突が圧力の起源です。

微視的な分子の振る舞いから、巨視的な気体の圧力を導き出すとき、下記のように単純化されたモデルを考えます。

• 理想気体と同じく、分子には大きさが無く、分子間力も無い、とみなす。
• 分子には大きさが無いので、分子同士は衝突しないとみなす。
• 分子は全て同じ質量で、重力ははたらかないが、運動量や運動エネルギーはあるとみなす。
• 壁との衝突は弾性衝突（完全弾性衝突）で、壁と分子の間に摩擦は無いとみなす。
• 壁との衝突時以外は等速直線運動をするとみなし、平均するとあらゆる方向へ均等に（等方的に）運動するとみなす。

気体分子運動論から考える気体の圧力

立方体容器の１つの壁への衝突を考える

1辺の長さ L [m]、体積 V [m³]（=L³）の立方体の容器の中に、1個当たりの質量が m [kg] の気体分子が N 個入れられているとします。容器の各辺に合わせて x軸、y軸、z軸をとり、x軸に垂直な面を壁Wとします。

1個の分子が壁に与える力積

ある1個の分子が壁Wに衝突するときの速度を \(\vec{v}\) [m/s] とし、その x成分、y成分、z成分を v_x [m/s]、v_y [m/s]、v_z [m/s] とします。

壁Wへの衝突で変化するのは、 v_x だけです。v_y、v_z は変化しません。＊
上面への衝突であれば、変化するのは v_z だけで、v_x、v_y は変化しません。


手前面への衝突であれば、変化するのは v_y だけで、v_x、v_z は変化しません。
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つまり、3次元であるはずの壁Wへの衝突は、1次元として考えることができます。＊
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x軸方向の分子の衝突前の運動量は mv_x で、衝突後の運動量は - mv_x ですから、衝突の際に分子が受けた力積は、

　　　　(- mv_x) - mv_x = - 2mv_x

です。逆に、壁Wが分子から受けた力積は 2mv_x [N⋅s] です。

1個の分子が壁に与える平均の力

ある1個の分子が x軸方向に t秒間に進む距離は v_xt [m] です。

分子が x軸方向に1往復するための距離は 2L [m] です。

壁Wに衝突するのは 1往復に 1回です。

ということは t秒間に衝突する回数は \(\large{\frac{v_xt}{2L}}\) 回です。＊例えば、
分子の x軸方向の速さが 8m/s であれば、6秒間に 48m 進みますが、容器の幅が 2m であれば往復で 4m であり、この分子は 6秒間に \(\large{\frac{48}{4}}\) = 12回、衝突するということです。
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そして、1回の衝突で 2mv_x の力積を与えるわけですから、

t秒間に与える力積は

　　　　2mv_x × \(\large{\frac{v_xt}{2L}}\) = \(\large{\frac{m{v_x}^2t}{L}}\)

です。この量をグラフで表すと、

左図のようになります。1つの山の面積が 2mv_x [N⋅s] です。この山が t秒間当たり \(\large{\frac{v_xt}{2L}}\) 個あります。合計で \(\large{\frac{m{v_x}^2t}{L}}\) [N⋅s] の面積になるということです。

この山を平らにならすと、その高さが平均の力となります。\(\large{\frac{m{v_x}^2t}{L}}\) という面積を t で割ったものです。それが平均の力 f [N] です。（『撃力』参照）

　　　　f = \(\large{\frac{m{v_x}^2t}{L}}\) ÷ t = \(\large{\frac{m{v_x}^2}{L}}\)

これが、1個の分子が壁Wに与える平均の力です。

N個の分子が壁に与える平均の力

今、この容器には N 個の気体分子が入れられているので、上記　f = \(\large{\frac{m{v_x}^2}{L}}\)　を N倍すれば、壁Wに掛かる力を求められると考えてしまいがちですが、これだと間違いです。

v_x の大きさは分子によってそれぞれ違うのです。

＊ 「平均」については、２つの段階があります。
１つの分子について、複数回の衝突の山を平均化する、ということと、



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1~N個ある分子について、それらを平均化する、ということです。f といっても f₁ から f_N まであります。
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ですから、N個ある分子の v_x² の平均を \(\overline{{v_x}^2}\) とし、これを N倍したものが正確な力ということになります。これを F [N] とおきます。

　　　　F = \(\large{\frac{Nm{\overline{{v_x}^2}}}{L}}\)

壁Wへの圧力

壁Wへの圧力を p [Pa] としますと、圧力は力を面積で割ったものですから、

　　　　p = \(\large{\frac{F}{L^2}}\) = \(\large{\frac{Nm{\overline{{v_x}^2}}}{L^3}}\)

であり、L³ = V を代入すると、

　　　　p = \(\large{\frac{Nm{\overline{{v_x}^2}}}{V}}\)　　……①

となります。

\(\overline{{v_x}^2}\) を \(\overline{{v}^2}\) で表す

\(\vec{v}\) の大きさ v を2乗した v² は

　　　　v² = v_x² + v_y² + v_z²　＊ 三平方の定理です。



　v'² = v_x² + v_y²

　v² = v'² + v_z²

　∴　v² = v_x² + v_y² + v_z²
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と表されますので、その平均 \(\overline{{v}^2}\) も

　　　　\(\overline{{v}^2}\) = \(\overline{{v_x}^2}\) + \(\overline{{v_y}^2}\) + \(\overline{{v_z}^2}\)

と表されます。そして、分子は等方的に動きますので　\(\overline{{v_x}^2}\) = \(\overline{{v_y}^2}\) = \(\overline{{v_z}^2}\)　です。つまり、

　　　　\(\overline{{v}^2}\) = \(\overline{{v_x}^2}\) + \(\overline{{v_y}^2}\) + \(\overline{{v_z}^2}\) = \(\overline{{v_x}^2}\) + \(\overline{{v_x}^2}\) + \(\overline{{v_x}^2}\) = 3\(\overline{{v_x}^2}\)

であり、

　　　　\(\overline{{v_x}^2}\) = \(\large{\frac{1}{3}}\)\(\overline{{v}^2}\)

です。これを①式に代入しますと、

となります。

この圧力は壁Wへの圧力というだけでなく、あらゆる面への圧力となっています。 パスカルの原理です。つまり、この圧力 p が、この容器内の気体の圧力です。

また、上式は

　　　　p = \(\large{\frac{Nm{\overline{{v}^2}}}{3V}}\) = \(\large{\frac{2N}{3V}}\)×\(\large{\frac{1}{2}}\)m\(\overline{{v}^2}\)

と変形できますので、圧力 p は、気体分子の個数 N と気体分子の運動エネルギー \(\large{\frac{1}{2}}\)mv² の平均の値に比例し、体積 V に反比例する、と読み取れます。