ドップラー効果２

観測者が動く場合

音源（Source）が止まっていて観測者（Observer）が動いている場合の、ドップラー効果による振動数の変化について、考えてみます。

音速を V [m/s]、音源が発する音波の振動数を f₀ [Hz]＊エフゼロ閉じる、波長を λ₀ [m]＊ラムダゼロ閉じる、観測者の速さを v_o [m/s]＊ヴイオー。Observer の O です。
　閉じる とします。

v = f λ という関係があるので λ₀ = \(\large{\color{orange}{\frac{V}{f_0}}}\) です。

観測者が音源から遠ざかる場合の、観測者から見た音波の相対速度は V - v_o です＊たとえば V=340m/s、v_o=100m/s なら、相対速度は 240m/s です。
　閉じる。よって、観測者が感知する振動数 f₁ [Hz] は、（v = f λ の関係より）

　　　　f₁ = \(\large{\frac{V-v_\rm{o}}{\lambda_0}}\)　　　λ₀ = \(\large{\color{orange}{\frac{V}{f_0}}}\) を代入して

　　　　　 = \(\large{\frac{V-v_\rm{o}}{\frac{V}{f_0}}}\)

　　　　　 = \(\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V}}\normalsize{f_0}\)　　　＊たとえば V=340m/s、v_o=100m/s なら、
　　f₁ = \(\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V}}\normalsize{f_0}\) = \(\large{\frac{340-100}{340}}\normalsize{f_0}\) = \(\large{\frac{240}{340}}\normalsize{f_0}\) ≒ 0.7 f₀
観測者が感知する振動数は、音源の振動数の 0.7倍くらいです。音が低くなるということです。
　閉じる

観測者が音源に近づいていく場合の、観測者から見た音波の相対速度は V + v_o です＊たとえば V=340m/s、v_o=100m/s なら、相対速度は 440m/s です。
　閉じる。上と同じように計算すると、

　　　　f₁' = \(\large{\frac{V+v_\rm{o}}{V}}\normalsize{f_0}\)　　　＊たとえば V=340m/s、v_o=100m/s なら、
　　f₁' = \(\large{\frac{V+v_\rm{o}}{V}}\normalsize{f_0}\) = \(\large{\frac{340+100}{340}}\normalsize{f_0}\) = \(\large{\frac{440}{340}}\normalsize{f_0}\) ≒ 1.3 f₀
観測者が感知する振動数は、音源の振動数の 1.3倍くらいです。音が高くなるということです。
　閉じる

ですが、この式は、音源から観測者への向きを正とし、v_o は正の値も負の値も持つ、とすれば、観測者が音源から遠ざかる場合の式の V-v_o の v_o の部分に -v_o を代入して V-(-v_o) = V+v_o としたことに相当します。

音源が動く場合

次に、音源が動いて観測者が止まっている場合の、ドップラー効果による振動数の変化について、考えてみます。

音速を V、音源が発する音波の振動数を f₀、音源が動いていない場合の波長を λ₀、音源の動く速さを v_s＊ヴイエス。
Source の S です。閉じる とします。

音源の前方では波長が縮むわけですが、音源の発する振動数は音源が止まっていようと動いていようと変わらないので f₀ 。音波は V で進んでいて音源は v_s で進んでいるので相対速度は V - v_s 。この２つの量を v = f λ の関係式に代入して、動く音源が前方に作る音波の波長 λ₂ を求めると、

　　　　λ₂ = \(\large{\color{orange}{\frac{V-v_\rm{s}}{f_0}}}\)　　　詳しい解説音源が1秒間に送り出す波の数は f₀ 個で、
音波が1秒間に進む距離というのは V [m] で、
音源が1秒間に進む距離というのは v_s [m] なので、
この1秒間の内の1個目からf₀個目までの長さは V - v_s [m] 。






ということは、波1個当たりの長さは、
\(\large{\frac{V-v_\rm{s}}{f_0}}\) [m] で、
波1個当たりの長さというのは波長のこと。
　閉じる

となります。このことは、
　　v_s で動く音源が前方に作る音波の波長というのは、
　　音源が止まっていて、音波のスピードが V - v_s である場合の波長と同じ、
という意味でもあります。

このような音波の波長を、止まっている観測者が感知したときの振動数 f₂ は、（v = f λ の関係より）

　　　　f₂ = \(\large{\frac{V}{\lambda_2}}\)　　　λ₂ = \(\large{\color{orange}{\frac{V-v_\rm{s}}{f_0}}}\) を代入して

　　　　　 = \(\large{\frac{V}{\frac{V-v_\rm{s}}{f_0}}}\)

　　　　　 = \(\large{\frac{V}{V-v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}\)　　　＊たとえば V=340m/s、v_s=100m/s なら、
　　f₂ = \(\large{\frac{V}{V-v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}\) = \(\large{\frac{340}{340-100}}\normalsize{f_0}\) = \(\large{\frac{340}{240}}\normalsize{f_0}\) ≒ 1.4 f₀
観測者が感知する振動数は、音源の振動数の 1.4倍くらいです。音が高くなるということです。
　閉じる

音源の後方では波長が伸びるわけですが、このときの波長 λ₂' は、上と同じように考えて、

　　　　λ₂' = \(\large{\color{orange}{\frac{V+v_\rm{s}}{f_0}}}\)

となりますので、止まっている観測者が感知したときの振動数 f₂' は、上と同じように計算して、

　　　　f₂' = \(\large{\frac{V}{V+v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}\)　　　＊たとえば V=340m/s、v_s=100m/s なら、
　　f₂' = \(\large{\frac{V}{V+v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}\) = \(\large{\frac{340}{340+100}}\normalsize{f_0}\) = \(\large{\frac{340}{440}}\normalsize{f_0}\) ≒ 0.77 f₀
観測者が感知する振動数は、音源の振動数の 0.77倍くらいです。音が低くなるということです。
　閉じる

ですが、この式は、音源から観測者への向きを正とし、v_s は正の値も負の値も持つ、とすれば、音源の前方の場合の式の V-v_s の v_s の部分に -v_s を代入して V-(-v_s) = V+v_s としたことに相当します。

また、分子の V ですが、ここを V-v_s などとすると間違いです。音波は風など吹かない限り速さは変わりません。

音源も観測者も動く場合

音源が止まっていて観測者（Observer）が動いている場合の振動数は、

　　　　f₁ = \(\color{Green}{\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V}}\normalsize{f_0}}\)　　　……①

で、音源（Source）が動いて観測者が止まっている場合の振動数は、

　　　　f₂ = \(\color{Purple}{\large{\frac{V}{V-v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}}\)　　　……②

であるわけなので、音源も観測者も両方動く場合の振動数 f は、２つを合わせて、

　　　　f = \(\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V-v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}\)

となります。この式は、①式の f₀ のところが f₂ になったものとして（つまり①式に②式を代入して）、

　　　　f = \(\color{Green}{\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V}}\normalsize{f_0}}\) = \(\color{Green}{\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V}}}\color{Purple}{\normalsize{f_2}}\) = \(\color{Green}{\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V}}}\times\color{Purple}{\large{\frac{V}{V-v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}}\) = \(\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V-v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}\)　　　＊ 　これが、

　こうなった、と考える。
　 閉じる

と考えてもいいですし、②式の f₀ のところが f₁ になったものとして（つまり②式に①式を代入して）、

　　　　f = \(\color{Purple}{\large{\frac{V}{V-v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}}\) = \(\color{Purple}{\large{\frac{V}{V-v_\rm{s}}}}\color{Green}{\normalsize{f_1}}\) = \(\color{Purple}{\large{\frac{V}{V-v_\rm{s}}}}\times\color{Green}{\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V}}\normalsize{f_0}}\) = \(\large{\frac{V-v_\rm{o}}{V-v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}\)　　　＊ 　これが、

　こうなった、と考える。
　 閉じる

と考えてもいいです。

この公式は分母と分子を間違えやすいので「オトブンノヒト」と覚えてください。あと、- v とするか + v とするか、とても間違えやすいです。ドップラー効果の原理に照らし合わせて、この場合は振動数が大きくなるはず、この場合は振動数が小さくなるはず、と直感を大事に慎重に判断してください。

また、ドップラー効果は試験等では音速は 340m/s として出題されることも多いので、

　　　　f = \(\large{\frac{340-v_\rm{o}}{340-v_\rm{s}}}\normalsize{f_0}\)

と覚えてしまってもいいかもしれません。