qG7FN

図3に示すエレベーターでは、ワイヤーロープをモーターで動かして質量 M のかごを昇降させる。ワイヤーロープは滑らないようにモーターに巻き付けてあり、他端にはモーターの負担を軽減するために質量 m のおもりを取り付けてある。ただし、ワイヤーロープは質量が無視でき、たるまないものとする。また、重力加速度の大きさを g とする。

図 3

(問3)qG7FL

(問4)qG7FM

(問5)図4のように、静止していたかごが一定の加速度 a で時間 t の間加速した後、等速度で時間 t の間上昇し、最後に時間 2t の間一定の加速度で減速して停止した。かごが最初の位置から上昇した距離はいくらか。

図 4

#センター07追試

速度と時間のグラフ(v-tグラフ)の曲線とt軸に挟まれる部分の面積が変位(移動距離)であるから、

左図の台形部分の面積が求める距離です。

この台形の高さは、t だけ時間が経ったときの速度です。この間、0 の速度でスタートして、a の加速度で等加速度運動をしていますので、この速度は at です

左図は上昇した後、下降したというグラフではないので勘違いしないでください。
変位と時間のグラフであれば、そうですが、これは速度と時間のグラフです。
はじめ速度が増し、途中で一定になり、その後だんだん速度が遅くなった、というグラフです。
ずっと上昇しっぱなしです。

台形の面積は (上底+下底)×高さ÷2 ですから、

    ( t + 4t ) × at ÷ 2 = \(\large{\frac{5}{2}}\)at2

です。

 

(別解:v-tグラフの面積が変位、ということを忘れてしまった場合には)
等加速度直線運動の変位の式( x = v0t + \(\large{\frac{1}{2}}\)at2 )を使って求めていきます。

(0 から t までは)
    h1 = 0×t + \(\large{\frac{1}{2}}\)at2

      = \(\large{\frac{1}{2}}\)at2

t から 2t までは)
    h2 = at×t + \(\large{\frac{1}{2}}\)×0×t2

      = at2

(2t から 4t までは)
    h3 = at×2t + \(\large{\frac{1}{2}}\)×(-\(\large{\frac{1}{2}}\)a)×(2t)2  ∵グラフから読み取ると加速度は -\(\large{\frac{1}{2}}\)a

      = 2at2 - at2

      = at2

(合計は)
  h1 + h2 + h3 = \(\large{\frac{1}{2}}\)at2 + at2 + at2

         = \(\large{\frac{5}{2}}\)at2