qG931

質量 m の一様な細い棒がある。図1のように棒の一端を水平な床と壁の隅につけ、他端を水平に張られたひもで引っ張り、棒が床となす角を θ に保つようにする。このとき、ひもの張力 T はいくらか。ただし、重力加速度の大きさを g とする。

図 1

#センター06本試

棒が床となす角を θ に保つということは、棒が動かないということであり、棒にはたらく力のモーメントの和がつり合っているということです。

床と壁の隅を中心とした、棒にはたらく力のモーメントの和を考えます。

棒の長さを l としますと、

一様な棒の重心はその中点にあるので、重力 mg による力のモーメント

  mgcosθ × \(\large{\frac{l}{2}}\)

張力 T による力のモーメントは

  Tsinθ × l

この2つの力のモーメントがつり合っているのだから、

    mgcosθ × \(\large{\frac{l}{2}}\) = Tsinθ × l  ……①

 ∴  T = \(\large{\frac{mg\cosθ}{2\sinθ}}\)  (tanθ = \(\large{\frac{\sinθ}{\cosθ}}\) だから

 ∴  T = \(\large{\frac{mg}{2\tanθ}}\)

 

(余談)
T = \(\large{\frac{mg}{2\tanθ}}\) を解釈してみますと、角度 θ が大きいときは張力 T は小さく、角度 θ が小さいときは張力 T が大きい、といえます。

また、①式より、mgcosθ の大きさは Tsinθ の2倍であると分かります。