うなりの式
正弦波の式を足し合わせてみる
本編で f = | f1 - f2 | であることを図を使って説明しましたが、本項では数式を使って説明してみます。
上図のような正弦波は単振動によって形作られますが、単振動の変位を表す式は、
x = Asinωt
です。
ここで、
赤波の変位を y1 、振幅を 1 、角振動数を ω1 、振動数を f1 、（『単振動』項参照）
青波の変位を y2 、振幅を 1 、角振動数を ω2 、振動数を f2 、| f1 - f2 | ≪ f2 、
２つを足し合わせた波の変位を Y としますと、
赤波の式： y1 = sinω1t
青波の式： y2 = sinω2t
となりますが、ω=2πf の関係がありますので（『単振動』項参照）、
赤波の式： y1 = sin(2πf1t)
青波の式： y2 = sin(2πf2t)
となり、この２つを足し合わせると下図の緑波の式となります。
Y = sin(2πf1t) + sin(2πf2t)
ここに、三角関数の和積の公式、
sinx + siny = 2sin\(\large{\frac{x+y}{2}}\)cos\(\large{\frac{x-y}{2}}\)
を当てはめますと、
Y = 2sin\(\large{\frac{2\pi f_1 t+2\pi f_2 t}{2}}\)cos\(\large{\frac{2\pi f_1 t-2\pi f_2 t}{2}}\)
= 2sin(2π\(\large{\frac{f_1+f_2}{2}}\)t)cos(2π\(\large{\frac{f_1-f_2}{2}}\)t)
となります。
人間が感じる大小の変化の振動数は2倍
一般的に X = sin(at)cos(bt) という式があった場合、この式は、
x1 = sin(at) と、
x2 = cos(bt) とを
掛け合わせたものであるのですが、
人間が感じる音の大小の周期は上のオレンジ波 cos(bt) の半分（振動数は倍）のはずです。（上のオレンジ波は1周期の間に2回うなりが大きくなる。下図ではオレンジ波の振動数とうなりの振動数が一致している。）
このことからしますと、
Y = 2sin(2π\(\large{\frac{f_1+f_2}{2}}\)t)cos(2π\(\large{\frac{f_1-f_2}{2}}\)t)
の式において人間が感じるうなりの振動数 は \(\large{\frac{f_1-f_2}{2}}\) の2倍、つまり f は、
f = | f1 - f2 |
となります。
例
f1=40Hz と f2=44Hz の音を発すると、42 Hz の音が f=4Hz の振動数で大きくなったり小さくなったりします。このときの式と波形を示します。
y1 = sin(2π·40·t)
y2 = sin(2π·44·t)
y1 = sin(2π·40·t) 、y2 = sin(2π·44·t)
Y = 2sin(2π\(\large{\frac{40+44}{2}}\)t)cos(2π\(\large{\frac{40-44}{2}}\)t) = 2sin(2π·42·t)cos(2π·2·t)
sin(2π·42·t) …… f1 と f2 の中間の音
cos(2π·2·t) …… この波の倍の振動数がうなりの振動数
Y = 2sin(2π·42·t)cos(2π·2·t) 、cos(2π·4·t) …… 1.0秒間に4回振動している
