qH7D4

（問1）

（まず真空中での電気容量 C の式を立てる）
コンデンサーの極板間の距離を d 、長方形の極板の 2a ではない方の辺の長さを b 、真空の誘電率を ε₀ とします。そうしますと、真空中のコンデンサーの電気容量（C = ε\(\large{\frac{S}{d}}\)）の式は

　　　　C = ε₀\(\large{\frac{2ab}{d}}\)　　……①

（C_A 、C_B の式を立てる）
電気容量を考えるときにはコンデンサーは横方向に分割できるとみなせるので、

コンデンサーAは、a+x の真空中のコンデンサーと、a-x の誘電体を挟んだコンデンサーが並列に接続されているとみなし、

　　　　C_A = ε₀\(\large{\frac{(a+x)b}{d}}\) + ε_rε₀\(\large{\frac{(a-x)b}{d}}\)

　　　　　 = ε₀\(\large{\frac{(a+x)+ε_r(a-x)}{d}}\)b　　……②

同様に、コンデンサーBは、a+x の誘電体を挟んだコンデンサーと、a-x の真空中のコンデンサーが並列に接続されているとみなし、

　　　　C_B = ε_rε₀\(\large{\frac{(a+x)b}{d}}\) + ε₀\(\large{\frac{(a-x)b}{d}}\)

　　　　　 = ε₀\(\large{\frac{ε_r(a+x)+(a-x)}{d}}\)b　　……③

（自分で設定した d 、b 、ε₀ を消去）
①式を変形して、

　　　　ε₀\(\large{\frac{2ab}{d}}\) = C

　　　　ε₀\(\large{\frac{b}{d}}\) = \(\large{\frac{C}{2a}}\)

これを②式に代入して、

　　　　 C_A = \(\large{\frac{(a+x)+ε_r(a-x)}{2a}}\)C

　　　　　 = \(\large{\frac{a+x+ε_ra-ε_rx}{2a}}\)C

　　　　　= \(\large{\frac{-(ε_r-1)x+(ε_r+1)a}{2a}}\)C

同様に、③式に代入して、

　　　　 C_B = \(\large{\frac{ε_r(a+x)+(a-x)}{2a}}\)C

　　　　　 = \(\large{\frac{ε_ra+ε_rx+a-x}{2a}}\)C

　　　　　= \(\large{\frac{(ε_r-1)x+(ε_r+1)a}{2a}}\)C

コンデンサーは誘電体を挟むと電気容量が大きくなるものですが、上の2式を見ますと、x が大きくなるほど（誘電体が右にズレていくほど）、C_A の値は小さくなり、C_B の値は大きくなるようにちゃんとなっています。

（問2）

このとき、C_A = ε_rC 、C_B = C であり、電源の電圧を V としますと各電気量は、

　　　　Q_A = C_AV = ε_rCV　　……④

　　　　Q_B = C_BV = CV　　……⑤

題意より Q = Q_A + Q_B だから、

　　　　Q = ε_rCV + CV

　∴　　\(\large{\frac{Q}{ε_rC+C}}\) = V

これを④式、⑤式に入れ戻しますと、

　　　　 Q_A = ε_rC\(\large{\frac{Q}{ε_rC+C}}\) = \(\large{\frac{ε_r}{ε_r+1}}\)Q

　　　　 Q_B = C\(\large{\frac{Q}{ε_rC+C}}\) = \(\large{\frac{1}{ε_r+1}}\)Q

（問3）

誘電体を動かす前にスイッチは開かれているので、コンデンサーA、Bに蓄えられた電気量 Q_A 、Q_B の値は問2のままです。

電気容量は x によって変化しますが、その値は問1で求めました。

すなわち、

　　　　C_A = \(\large{\frac{-(ε_r-1)x+(ε_r+1)a}{2a}}\)C

　　　　C_B = \(\large{\frac{(ε_r-1)x+(ε_r+1)a}{2a}}\)C

　　　　Q_A = \(\large{\frac{ε_r}{ε_r+1}}\)Q

　　　　Q_B = \(\large{\frac{1}{ε_r+1}}\)Q

この各値をコンデンサーの静電エネルギーの式（ U = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{Q^2}{C}}\) ）に代入しますと、

　　　　 U_A = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{A}}^2}{C_\rm{A}}}\)

　　　　　　= \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\Large{\frac{(\frac{ε_r}{ε_r+1}Q)^2}{\frac{-(ε_r-1)x+(ε_r+1)a}{2a}C}}\)

　　　　　　= \(\large{\frac{(\frac{ε_r}{ε_r+1}Q)^2a}{\{-(ε_r-1)x+(ε_r+1)a\}C}}\)

　　　　　　= \(\large{\frac{{ε_r}^2Q^2a}{(ε_r+1)^2\{-(ε_r-1)x+(ε_r+1)a\}C}}\)

　　　　 U_B = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{B}}^2}{C_\rm{B}}}\)

　　　　　　= \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\Large{\frac{(\frac{1}{ε_r+1}Q)^2}{\frac{(ε_r-1)x+(ε_r+1)a}{2a}C}}\)

　　　　　　= \(\large{\frac{(\frac{1}{ε_r+1}Q)^2a}{\{(ε_r-1)x+(ε_r+1)a\}C}}\)

　　　　　　= \(\large{\frac{Q^2a}{(ε_r+1)^2\{(ε_r-1)x+(ε_r+1)a\}C}}\)

（問4）

スイッチSが閉じられる直前までは、引き続き、コンデンサーA、Bに蓄えられた電気量 Q_A 、Q_B の値は問2のままであり、

各電気容量は、x = a であるので、

　　　　C_A = C

　　　　C_B = ε_rC

であり、このときのコンデンサーAの電圧を V_A 、コンデンサーBの電圧を V_B とすると、（Q = CV）の関係より、

　　　　V_A = \(\large{\frac{Q_\rm{A}}{C_\rm{A}}}\) = \(\large{\frac{ε_r}{ε_r+1}}\)Q⋅\(\large{\frac{1}{C}}\) = \(\large{\frac{ε_r}{ε_r+1}}\)⋅\(\large{\frac{Q}{C}}\)

　　　　V_B = \(\large{\frac{Q_\rm{B}}{C_\rm{B}}}\) = \(\large{\frac{1}{ε_r+1}}\)Q⋅\(\large{\frac{1}{ε_rC}}\) = \(\large{\frac{1}{(ε_r+1)ε_r}}\)⋅\(\large{\frac{Q}{C}}\)

ε_r > 1 であるので V_A > V_B であり、抵抗に流れる電流は 右向き とわかります。

そして、その大きさ（スイッチを閉じた直後の電流の大きさ I₀）を求めるためにキルヒホッフの第2法則の式を立てますと、

　　　　\(\large{\frac{ε_r}{ε_r+1}}\)⋅\(\large{\frac{Q}{C}}\) - RI₀ - \(\large{\frac{1}{(ε_r+1)ε_r}}\)⋅\(\large{\frac{Q}{C}}\) = 0

　∴　　RI₀ = \(\large{\frac{ε_r}{ε_r+1}}\)⋅\(\large{\frac{Q}{C}}\) - \(\large{\frac{1}{(ε_r+1)ε_r}}\)⋅\(\large{\frac{Q}{C}}\)

　∴　　 I₀ = \(\big\{\large{\frac{ε_r}{ε_r+1}}\) - \(\large{\frac{1}{(ε_r+1)ε_r}}\}\)⋅\(\large{\frac{Q}{CR}}\)

　　　　　 = \(\big\{\large{\frac{{ε_r}^2-1}{(ε_r+1)ε_r}}\}\)⋅\(\large{\frac{Q}{CR}}\)

　　　　　 = \(\big\{\large{\frac{(ε_r+1)(ε_r-1)}{(ε_r+1)ε_r}}\}\)⋅\(\large{\frac{Q}{CR}}\)

　　　　　 = \(\large{\frac{(ε_r-1)Q}{ε_rCR}}\)

スイッチを閉じた直後は勢い良く電荷が移動して行きますが、電荷が移動するにつれてAの電圧は下がり、Bの電圧は上がるので、その勢いは徐々に落ちていき（変化量は小さくなり）、やがてA、Bの電圧が等しくなり、電流は止まります。よって電流の時間変化は以下のようになります。

（問5）

抵抗で発生するジュール熱というのは、2つのコンデンサーの静電エネルギーの減少量と同等です。エネルギーは他に逃れる先が無いので、静電エネルギーの減少分は全てジュール熱に使われます。

スイッチSを閉じる前の静電エネルギーは問3で求めましたが、スイッチSを閉じた後の静電エネルギーを改めて求めてみます。

スイッチSを閉じて十分に時間が経過した後の、コンデンサーA、Bに蓄えられた電気量を Q_A' 、Q_B' 、コンデンサーA、Bに蓄えられた静電エネルギーを U_A' 、U_B' とします。

各コンデンサーの電気容量は問4と同じく、

　　　　C_A = C

　　　　C_B = ε_rC

であり、スイッチSを閉じて十分に時間が経過した後は2つのコンデンサーの電圧（ V = \(\large{\frac{Q}{C}}\) ）は等しくなっていますから、

　　　　\(\large{\frac{Q_\rm{A}'}{C_\rm{A}}}\) = \(\large{\frac{Q_\rm{B}'}{C_\rm{B}}}\)

　∴　　\(\large{\frac{Q_\rm{A}'}{C}}\) = \(\large{\frac{Q_\rm{B}'}{ε_\rm{r}C}}\)

　∴　　Q_A' = \(\large{\frac{Q_\rm{B}'}{ε_\rm{r}}}\)　　……⑥

そして、2つのコンデンサーの電荷の総量は他に逃げ所が無いので Q のままであり、つまり、

　　　　Q_A' + Q_B' = Q　　……⑦

です。⑥式をこれに代入して、

　　　　\(\large{\frac{Q_\rm{B}'}{ε_\rm{r}}}\) + Q_B' = Q

　∴　　\(\large{\frac{1+ε_\rm{r}}{ε_\rm{r}}}\)Q_B' = Q

　∴　　Q_B' = \(\large{\frac{ε_\rm{r}}{ε_\rm{r}+1}}\)Q

⑦式に入れ戻して、

　　　　Q_A' + \(\large{\frac{ε_\rm{r}}{ε_\rm{r}+1}}\)Q = Q

　∴　　Q_A' = Q - \(\large{\frac{ε_\rm{r}}{ε_\rm{r}+1}}\)Q

　　　　　　= \(\large{\frac{ε_\rm{r}+1-ε_\rm{r}}{ε_\rm{r}+1}}\)Q

　　　　　　= \(\large{\frac{1}{ε_\rm{r}+1}}\)Q

これらの値はよく見ると問2で求めた値

　　　　Q_A = \(\large{\frac{ε_r}{ε_r+1}}\)Q　　……⑧

　　　　Q_B = \(\large{\frac{1}{ε_r+1}}\)Q　　……⑨

と逆になっています。回路においてスイッチを操作した結果、Q_A' = Q_B 、Q_B' = Q_A となったのです。

各コンデンサーの静電エネルギー（ U = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{Q^2}{C}}\) ）は

　　　　U_A' = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{{Q_\rm{A}}'}^2}{C_\rm{A}}}\) = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{B}}^2}{C}}\)

　　　　U_B' = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{{Q_\rm{B}}'}^2}{C_\rm{B}}}\) = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{A}}^2}{ε_rC}}\)

であり、スイッチSを閉じる前の各コンデンサーの静電エネルギーは（問3で求めた静電エネルギーの x = a の場合のことですが）、

　　　　U_A = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{A}}^2}{C_\rm{A}}}\) = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{A}}^2}{C}}\)

　　　　U_B = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{B}}^2}{C_\rm{B}}}\) = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{B}}^2}{ε_rC}}\)

です。よって静電エネルギーの減少分は

　　　　　(U_A + U_B) - (U_A' + U_B')

　　　　= \(\big(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{A}}^2}{C}}\) + \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{B}}^2}{ε_rC}})\) - \(\big(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{B}}^2}{C}}\) + \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{{Q_\rm{A}}^2}{ε_rC}})\)

　　　　= \(\large{\frac{1}{2C}}\)⋅\(\big(\)Q_A² + \(\large{\frac{{Q_\rm{B}}^2}{ε_r}}\) - Q_B² - \(\large{\frac{{Q_\rm{A}}^2}{ε_r}})\)

　　　　= \(\large{\frac{1}{2C}}\)⋅\(\big(\)Q_A² - \(\large{\frac{{Q_\rm{A}}^2}{ε_r}}\) - Q_B² + \(\large{\frac{{Q_\rm{B}}^2}{ε_r}})\)

　　　　= \(\large{\frac{1}{2C}}\)⋅\(\Big\{\big(\)1 - \(\large{\frac{1}{ε_r}})\)Q_A² - \(\big(\)1 - \(\large{\frac{1}{ε_r}})\)Q_B²\(\Big\}\)

　　　　= \(\large{\frac{1}{2C}}\)⋅\(\Big\{\big(\)1 - \(\large{\frac{1}{ε_r}})\)\(\big(\)Q_A² - Q_B²\(\big)\Big\}\)

　　　　= \(\large{\frac{1}{2C}}\)⋅\(\Big\{\big(\)\(\large{\frac{ε_r-1}{ε_r}})\)\(\big(\)Q_A² - Q_B²\(\big)\Big\}\)

⑧式、⑨式を代入して、

　　　　= \(\large{\frac{1}{2C}}\)⋅\(\Big\{\big(\)\(\large{\frac{ε_r-1}{ε_r}})\)\(\big(\)\(\large{\frac{{ε_r}^2}{(ε_r+1)^2}}\)Q² - \(\large{\frac{1^2}{(ε_r+1)^2}}\)Q²\(\big)\Big\}\)

　　　　= \(\large{\frac{1}{2C}}\)⋅\(\Big\{\big(\)\(\large{\frac{ε_r-1}{ε_r}})\large{\frac{({ε_r}^2-1)}{(ε_r+1)^2}}\)\(Q^2\Big\}\)

　　　　= \(\large{\frac{1}{2C}}\)⋅\(\Big\{\)\(\large{\frac{ε_r-1}{ε_r}}⋅\large{\frac{(ε_r+1)(ε_r-1)}{(ε_r+1)^2}}\)\(Q^2\)\(\Big\}\)

　　　　= \(\large{\frac{1}{2C}}\)⋅\(\Big\{\large{\frac{(ε_r-1)^2}{ε_r(ε_r+1)}}\)\(Q^2\)\(\Big\}\)

　　　　= \(\)\(\large{\frac{(ε_r-1)^2Q^2}{2ε_r(ε_r+1)C}}\)\(\)

電気量の総量が一定だからといって静電エネルギーの総量も一定であるわけではありません。静電エネルギーは電気量と電圧を掛けたもの＊ U = \(\large{\frac{1}{2}}\)QV = \(\large{\frac{1}{2}}\)CV² = \(\large{\frac{1}{2}}\)⋅\(\large{\frac{Q^2}{C}}\) 閉じる なので、同じ電気量でも電圧の高い所に存在した方が静電エネルギーは大きくなります。スイッチSを閉じたことによって電荷が電圧の低い方へ移動したのでエネルギーは低くなりました。低くなった分のエネルギーは抵抗の部分で消費された（発熱した）わけです。