qG87C

（問1）
電気力線は電荷から湧き出すもので、等電位線は電荷を同心円上にくるむものです。ですから、正解は①か②のどちらかです。

そして、等電位線は密なところは電場が強くなっているものですし、Q の方が \(\large{\frac{Q}{4}}\) より、電位が高くなっているはずであり、そのことを示している図は ② です。（地図の等高線で考えますと、標高が高くなっているのは左側の山）

（問2）
第3の点電荷の電気量を q' (q'>0)と置きますと、

Q の点電荷から受ける静電気力は

　　k\(\large{\frac{Qq'}{d'^2}}\)

\(\large{\frac{Q}{4}}\) の点電荷から受ける静電気力は

　　k\(\large{\frac{\frac{Q}{4}q'}{(d-d')^2}}\)

この2つの静電気力の合力が 0 なのだから、

　　　　k\(\large{\frac{Qq'}{d'^2}}\) = k\(\large{\frac{\frac{Q}{4}q'}{(d-d')^2}}\)

　∴　　\(\large{\frac{1}{d'^2}}\) = \(\large{\frac{\frac{1}{4}}{(d-d')^2}}\)

　∴　　4(d - d')² = d'²

　∴　　4(d² - 2dd' + d'²) = d'²

　∴　　4d² - 8dd' + 4d'² = d'²

　∴　　4d² - 8dd' + 3d'² = 0

　∴　　3d'² - 8dd' + 4d² = 0

　∴　　(3d' - 2d)(d' - 2d) = 0　＊ 高校数学の因数分解です。

3d'² - 8dd' + 4d² について、

掛けて3、掛けて4になる組合せは
(3　　4)
(1　　1)
あるいは
(3　　2)
(1　　2)
で、
この2つのうち、たすき掛けの和が8になるのは
(3　　2)
(1　　2)
です。
3×2+1×2=8 です。
3×1+1×4 では 8 になりません。

というわけで、
(3d' - 2d)(d' - 2d)
です。 閉じる

　∴　　d' = \(\large{\frac{2}{3}}\)d、2d

このうち 2d は力の向きが同じになってしまいますし、問題文で、Q の点電荷と \(\large{\frac{Q}{4}}\) の点電荷の間、と指定されているので、

答えは ④ \(\large{\frac{2}{3}}\)d です。

（余談）
なお、q' は計算途中で消えてしまっていて、これはつまり、無関係ということです。q' がどんな大きさでも、正でも負でも、x = \(\large{\frac{2}{3}}\)d の位置にありさえすれば、静電気力の合力は 0 になります。

そして、x = \(\large{\frac{2}{3}}\)d ということは、Q の点電荷からの距離が \(\large{\frac{Q}{4}}\) の点電荷からの距離の2倍ということであり、これは静電気力の式

　　　　F = k\(\large{\frac{q_1q_2}{r^2}}\)

が距離の2乗に反比例していることに依ります。震源の力が4倍であれば、2倍の距離、離れていればつり合いがとれます。このように考えると、この問題は暗算で解くことができます。

問題設定が「Q」 と 「\(\large{\frac{Q}{9}}\)」 であれば、3倍の距離の差がでる位置が答えであり、

　　　　d' = \(\large{\frac{3}{4}}\)d

と暗算で導き出せます。

クーロンの法則

　　　　F = k\(\large{\frac{q_1q_2}{r^2}}\)

というものは、2つの電荷 q₁ 、q₂ があるときに、

それぞれの電荷にはたらく力の大きさを表しています。（斥力の場合）

引力の場合ならこうです。

2本の矢印のそれぞれの長さが k\(\large{\frac{q_1q_2}{r^2}}\) であるということです。同じ大きさで、必ず対になっています。作用反作用の法則です。

というわけで、\(\large{\frac{Q}{4}}\) の点電荷になんらかの静電気力がはたらいていれば、それと対をなす力がどこかにはたらいているはずです。しかしそのような力はありません。Q の点電荷も第3の点電荷も合力が 0 と言っています。対になるべき力が無いのです。

これはつまり、\(\large{\frac{Q}{4}}\) の点電荷にはたらく合力も 0 になっているということです。答えは ① です。

作用反作用の法則をちゃんと理解しているかを問う、いい問題だと思います。

（一つひとつの力を考えてみる）
\(\large{\frac{Q}{4}}\) は Q から力を受けています。（問題文より Q 、\(\large{\frac{Q}{4}}\) は正であるので、この力は斥力）。その大きさを f とします。

その力と対をなす力が Q にはたらいています。

Q にはたらく力の合力は 0 であるから、反対向きに f の力がはたらいているはずです。

この力は q' にはたらく力と対をなしているはずで、（引力になっているはずで、つまり q' は負）、

q' にはたらく力の合力は 0 であるから、反対向きに f の力がはたらいているはずで、

この力は \(\large{\frac{Q}{4}}\) にはたらく力と対をなしているはずです。

というわけで、

\(\large{\frac{Q}{4}}\) には、向きが逆で同じ大きさの2つの力がはたらいています。