qG7FK

図2のように、水平面上に質量 m の物体を置き、壁との間をばね定数 k のばねでつないだ。ばねの自然の長さからの伸びを x で表し、面と物体の間の静止摩擦係数を μ 、動摩擦係数を μ' 、重力加速度の大きさを g とする。

図 2

(問4)ばねが自然の長さにある状態から、図2のように手で水平に物体に力を加え、ばねを引き伸ばした。ばねの伸びが x になるまでに、手によってなされた仕事はいくらか。

(問5)問4の過程の最後に手を止めて静かに離したところ、物体は静止していた。手を離したあとも物体が静止しているようなばねの伸び x の最大値 x0 はいくらか。

(問6)問5の実験でばねの伸びが x < x0 のとき、物体に作用している摩擦力はいくらか。

#センター06本試

(問4)ばねが自然の長さにある状態から、図2のように手で水平に物体に力を加え、ばねを引き伸ばした。ばねの伸びが x になるまでに、手によってなされた仕事はいくらか。

手によってなされた仕事は2種類あります。ばねの力に逆らってした仕事と(W1と置きます)、摩擦力に逆らってした仕事です(W2と置きます)。

ばねの力に逆らってした仕事というのは弾性エネルギーのことであり、

    W1 = \(\large{\frac{1}{2}}\)kx2

です。

摩擦力に逆らってした仕事というのは、摩擦力と移動距離を掛けたものです。摩擦力は動摩擦係数と垂直抗力を掛けたものです。物体には mg の重力が掛かり、これを反対向きにしたものが垂直抗力です。要するに、

    W2 = (摩擦力)×(移動距離) = (動摩擦係数)×(垂直抗力)×(移動距離)= μ'×mg×x

です。

求める仕事は

    W1 + W2 = \(\large{\frac{1}{2}}\)kx2 + μ'mgx

です。

(問5)問4の過程の最後に手を止めて静かに離したところ、物体は静止していた。手を離したあとも物体が静止しているようなばねの伸び x の最大値 x0 はいくらか。

物体が静止するのは、ばねの弾性力 kx最大静止摩擦力 μmg がつり合っているからです。

このとき μmg は固定値ですが、 kxx によって大きくなったり小さくなったりします。ばねは大きく引っ張るほど力が大きくなります。右にいっぱい引っ張れば、手を離したときに、最大静止摩擦力を超えて左に動き出します。その動き出すかどうかのギリギリの長さを求めよ、というのが題意です。つまり、

    kxμmg

ということであり、

 ∴  x ≦ \(\large{\frac{μmg}{k}}\)

であり、最大値は

    x0 = \(\large{\frac{μmg}{k}}\)

です。

(問6)問5の実験でばねの伸びが x < x0 のとき、物体に作用している摩擦力はいくらか。

x < x0 のときというのは動かないときであり、動かないということは力がつり合っているということであり、弾性力 kx と同じ大きさの摩擦力がはたらいているということであり、つまりこのときの摩擦力の大きさは kx です。

このときの摩擦力を『静止摩擦力』といいます。
動き出す瞬間の摩擦力は『最大静止摩擦力』といいます。

『静止摩擦力』は変動値です。弾性力の大きさに合わせて変化します。
『最大静止摩擦力』は固定値です。μmg です。弾性力が最大静止摩擦力を超えると物体は動き出します。

この辺の話はややこしいですが『静止摩擦力』をよく読んで頭を整理してください。