qH7D2

（問1）
超音波が空気中を伝わる速さ（音速）を V 、
音源が移動する速さを v_s ＊ 添字の s は sound の頭文字のつもりです。あるいは source です。 閉じる 、
音源で発生する超音波の振動数を f₀ 、
観測者が観測する、音源から観測者に直接伝わる超音波の振動数を f₁ 、
壁で観測される超音波の振動数を f₂ 、
観測者が観測する、壁に反射してから観測者に伝わる超音波の振動数を f₃ 、
観測者が観測するうなりの振動数を b₁ ＊ beat frequency の頭文字のつもりです。
他に適当に量記号を定めて構いません。 閉じる 、
とします。

ドップラー効果の公式（ f = \(\large{\frac{V-v_{\rm{o}}}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀ ）に代入しますと、

　　　　f₁ = \(\large{\frac{V-0}{V-(-v_{\rm{s}})}}\) f₀ = \(\large{\frac{V}{V+v_{\rm{s}}}}\) f₀

　　　　f₂ = \(\large{\frac{V-0}{V-(v_{\rm{s}})}}\) f₀ = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀

観測者は静止しているので f₂ の振動数をそのまま観測し、

　　　　f₃ = f₂ = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀

f₁ 、f₃ をうなりの公式（ f = | f₁ - f₂ | ）に代入しますと、

　　　　b₁ = | f₁ - f₃ |　　　f₁ < f₃ だから＊ V も v_s も f₁ も f₃ も正であり、分母の形をよく見ますと、
f₁ < f₃ であることがわかります。 閉じる

　　　　　 = f₃ - f₁

　　　　　 = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}}}\normalsize{f_0}\) - \(\large{\frac{V}{V+v_{\rm{s}}}}\) f₀

　　　　　 = \(\big(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}}}\) - \(\large{\frac{V}{V+v_{\rm{s}}}})\) f₀

　　　　　 = \(\Big\{\large{\frac{V(V+v_{\rm{s}})}{(V-v_{\rm{s}})(V+v_{\rm{s}})}}\) - \(\large{\frac{(V-v_{\rm{s}})V}{(V-v_{\rm{s}})(V+v_{\rm{s}})}}\)\(\Big\}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{V(V+v_{\rm{s}})-(V-v_{\rm{s}})V}{(V-v_{\rm{s}})(V+v_{\rm{s}})}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{V^2+Vv_{\rm{s}}-V^2+Vv_{\rm{s}}}{V^2-v_{\rm{s}}{^2}}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{2Vv_{\rm{s}}}{V^2-v_{\rm{s}}{^2}}}\) f₀

（問2）
(1)
問1で定義した物理量以外に、
観測者が観測する、音源から観測者に直接伝わる超音波の振動数を f₄ 、
観測者が観測する、壁に反射してから観測者に伝わる超音波の振動数を f₅ 、
観測者が観測するうなりの振動数を b₂ 、
とします。

そうしますと、観測者と音源は一緒に動いているので、

　　　　f₄ = f₀

壁で観測される超音波の振動数は問1と同じで、

　　　　f₂ = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀

ですが、今度は観測者が動いているので、さらにドップラー効果が起こり、

　　　　f₅ = \(\large{\frac{V-(-v_{\rm{s}})}{V-(0)}}\) f₂

　　　　　 = \(\large{\frac{V+v_{\rm{s}}}{V}}\) f₂

　　　　　 = \(\large{\frac{V+v_{\rm{s}}}{V}}\)⋅\(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{V+v_{\rm{s}}}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀

よって、うなりの振動数は

　　　　b₂ = | f₄ - f₅ |　　　f₄ < f₅ だから

　　　　　 = f₅ - f₄

　　　　　 = \(\large{\frac{V+v_{\rm{s}}}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀ - f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{(V+v_{\rm{s}})-(V-v_{\rm{s}})}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{2v_{\rm{s}}}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀

(2)
上式に
v_s = 2.000 、b₂ = 400 を代入すると、

　　　　400 = \(\large{\frac{2×2.000}{V-2.000}}\) f₀

　∴　　400V - 800 = 4 f₀　　……①

v_s = 9.770 、b₂ = 2000 を代入すると、

　　　　2000 = \(\large{\frac{2×9.770}{V-9.770}}\) f₀

　∴　　2000V - 19540 = 19.540 f₀　　……②

①を5倍して、

　　　　2000V = 20 f₀ + 4000

②式に代入すると、

　　　　20 f₀ + 4000 - 19540 = 19.540 f₀

　∴　　0.460 f₀ = 15540

　∴　　f₀ ≒ 33780

これを①式に代入すると、

　　　　400V - 800 = 4×33780

　∴　　400V = 135120 + 800

　∴　　400V = 135920

　∴　　V = 339.8

答え　V = 3.40×10² [m/s] 、f₀ = 3.38×10⁴ [Hz]

（問3）
（問題文に「うなりが観測された」とありますが、うなりの振動数を求めるわけではなく、壁で反射した超音波の振動数を求めよ、という問題です）

壁で観測される超音波の振動数を f₆ とします。観測者は静止しているので、観測者が観測する振動数も f₆ です。

反射する波は反射の法則により入射角と反射角が等しくなっていますが、台車は移動しているので、

反射して観測者に届く超音波の経路は左図のようになります。

左図のように θ を定めますと、

壁にとっては音源が v_scosθ の速度で迫ってくることになります。

つまり、壁で観測される超音波の振動数は

　　f₆ = \(\large{\frac{V-0}{V-v_{\rm{s}}\cosθ}}\) f₀ = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}\cosθ}}\) f₀　　……③

ところで、左図の赤色三角形と緑色三角形は、2つの角の大きさが同じなので相似であり、

　　cosθ = \(\Large{\frac{\Large{-\frac{x}{2}}}{\sqrt{(-\frac{x}{2})^2+w^2}}}\)

であるとわかります。
（ x の前に - が付くのは、原点Oの左側では x が負であり、長さに直すときはそれに - を付けて正にする必要があるからです）

計算して、

　　　　cosθ = \(\Large{\frac{\Large{-\frac{x}{2}}}{\sqrt{(-\frac{x}{2})^2+w^2}}}\) = \(\Large{\frac{\Large{-\frac{x}{2}}×2}{\sqrt{\big\{(-\frac{x}{2})^2+w^2\big\}×4}}}\) = \(\large{\frac{-x}{\sqrt{x^2+4w^2}}}\)

③式に代入しますと、

　　　　 f₆ = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}\cosθ}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}\frac{-x}{\sqrt{x^2+4w^2}}}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{V\sqrt{x^2+4w^2}}{V\sqrt{x^2+4w^2}+v_{\rm{s}}x}}\) f₀ 　　……④

この式を解釈しますと、

x が -∞ に近いときほど、相対的に 4w² が 0 に近づき、f₆ は

　　　　f₆ = \(\large{\frac{V\sqrt{x^2+0}}{V\sqrt{x^2+0}+v_{\rm{s}}x}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{V|x|}{V|x|+v_{\rm{s}}x}}\) f₀　　（|x| で割りますと、x は負だから）

　　　　　 = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀

に近づきます。

x が +∞ に近いときも、相対的に 4w² が 0 に近づき、f₆ は

　　　　f₆ = \(\large{\frac{V\sqrt{x^2+0}}{V\sqrt{x^2+0}+v_{\rm{s}}x}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{V|x|}{V|x|+v_{\rm{s}}x}}\) f₀　　（|x| で割りますと、x は正だから）

　　　　　 = \(\large{\frac{V}{V+v_{\rm{s}}}}\) f₀

に近づきます。

x が 0 のときは、

　　　　f₆ = \(\large{\frac{V\sqrt{x^2+4w^2}}{V\sqrt{x^2+4w^2}-v_{\rm{s}}x}}\) f₀ = \(\large{\frac{V\sqrt{0^2+4w^2}}{V\sqrt{0^2+4w^2}-v_{\rm{s}}⋅0}}\) f₀ = \(\large{\frac{V\sqrt{4w^2}}{V\sqrt{4w^2}}}\) f₀ = f₀

です。

そして、x が -∞ 、+∞ に近いときは変化量が小さく、x が 0 に近いときは変化量が大きいです。

つまり、グラフは以下のようになります。

（正負がややこしい）

θ をこのように定めたということは、

このようであるということであり、

x > 0 においては cosθ は負になる＊ たとえば cos120° = cos(180°-60°) = - cos60° 閉じる ということであり、v_scosθ は壁から遠ざかる方向になるということです。

このことを踏まえてあらためて④式を見てみますと、

　　　　f₆ = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}\cosθ}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}\frac{-x}{\sqrt{x^2+4w^2}}}}\) f₀

　　　　　 = \(\large{\frac{V\sqrt{x^2+4w^2}}{V\sqrt{x^2+4w^2}+v_{\rm{s}}x}}\) f₀

x < 0 のときは cosθ > 0 で、分母の v_sx の前の符号は - になり、
x > 0 のときは cosθ < 0 で、分母の v_sx の前の符号は + になる、と整合性が取れていることが確認できます。

もし、x < 0 のときが cosθ > 0 で、x > 0 のときが cosθ < 0 であることが気持ち悪いというのであれば、

θ を左図のように設定すれば、x が - ∞ のときに cosθ が - 1 で、x が + ∞ のときに cosθ が + 1 になって、いい感じになります。でも問題に慣れてないとなかなか気付けません。

いずれにしても、x が - ∞ のときの振動数は

　　　　f₆ = \(\large{\frac{V}{V-v_{\rm{s}}}}\) f₀

で、x が + ∞ のときの振動数は

　　　　f₆ = \(\large{\frac{V}{V+v_{\rm{s}}}}\) f₀

となり、正負がややこしい中でミスを防ぐには「音源が近づいてくるときは分母が引き算、音源が遠ざかるときは分母が足し算」としっかり覚えておくことが重要です。