鉛直投射

最高点に達したときの時間を t₁ とすると、このときの速度 v は 0 だから＊上昇していきながら徐々にスピードが遅くなり、スピードが 0 になったときに、もうそれ以上、上にいけなくなるのだから、そのときが最高点。
　閉じる、速度の式は、

　　　　v = 0 = v₀ - g t₁

　∴　　t₁ = \(\large{\frac{v_0}{g}}\)

初速度 v₀ が大きいほど最高点に達するまでの時間が掛かるということです。あたりまえですが。

次に、最高点を y₁ とし、t₁=\(\large{\frac{v_0}{g}}\) を変位の式に代入してみますと、

　　　　y = v₀ t - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t²

　⇒　　y₁ = v₀ \(\bigl(\large{\frac{v_0}{g}}\bigr)\) - \(\large{\frac{1}{2}}\) g\(\bigl(\large{\frac{v_0}{g}}\bigr)^2\)

　　　　　 = \(\large{\frac{{v_0}^2}{g}}\) - \(\large{\frac{{v_0}^2}{2g}}\)

　　　　　 = \(\large{\frac{{v_0}^2}{2g}}\)

これは、t を含まない式　v² - v₀² = - 2 g y　に v=0 を代入しても求まります。

倍のスピードで投げ上げると4倍の高さまで上がります。

さらに、上がって下がって再びスタート地点に戻ってくるまでの時間（t₂ とします）を求めてみます。変位の式において y=0 とおきますと、

　　　　y = v₀ t - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t²

　⇒　　y = 0 = v₀ t - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t² = t ( v₀ - \(\large{\frac{1}{2}}\)g t )

　∴　　t = 0 , \(\large{\frac{2v_0}{g}}\)

t = 0 というのはスタートしたときの時間ですから、求める時間は t₂ = \(\large{\frac{2v_0}{g}}\) 。

この時間は t₁ = \(\large{\frac{v_0}{g}}\) と比べると倍でありますから、つまりこれは、最高点に達するまでの時間と、最高点からスタートの位置に戻るまでの時間は等しい、ということを意味します。

また、 t₂ = \(\large{\frac{2v_0}{g}}\) を速度の式に代入しますと、

　　　　v = v₀ - g t

　⇒　　v = v₀ - g \(\bigl(\large{\frac{2v_0}{g}}\bigr)\)

　　　　　= v₀ - 2 v₀

　　　　　= - v₀

これはつまり、再びスタート地点に戻ってきたときの速度は、大きさが初速度と同じで向きが逆、とうことです。