斜方投射１_補足

斜方投射の式は自由落下、鉛直投射、水平投射を含有している

以下の斜方投射の式が、自由落下運動の式、鉛直投射の式、水平投射の式を含有していることを説明します。

（鉛直上向きが正。θ は水平とのなす角、仰角。）

初速度が 0 のときは自由落下運動に相当する

上記の斜方投射の式において初速度の大きさが v₀ = 0 で、鉛直上向き正のところを鉛直下向き正、つまり、- g の部分を + g にすると、

　　　速度　　　v_x = 0　　　v_y = g t

　　　位置　　　x = 0　　　 y = \(\large{\frac{1}{2}}\) g t²

1次元の運動なので軌道の式はありませんが、その代わりに t を含まない式を求めてみます。

v_y = g t　を　y = \(\large{\frac{1}{2}}\) g t²　に代入すると、

　　　　y = \(\large{\frac{1}{2}}\) g \(\bigl(\large{\frac{v_y}{g}}\bigr)^2\)

　　　　　= \(\large{\frac{{v_y}^2}{2\ g}}\)

　∴　　v_y² = 2 g y

というわけで、自由落下運動の式（v_y を v に変更）が得られます。

（鉛直下向きが正）

初速度の向きが鉛直方向（θ=90°,270°）のときは鉛直投射に相当する

θ = 90° のとき、cosθ = 0 、sinθ = 1 ですから、これらを斜方投射の式

に代入しますと、

　　　速度　　　v_x = 0　　　v_y = v₀ - g t

　　　位置　　　x = 0　　　 y = v₀ t - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t²

1次元の運動なので軌道の式はありませんが、その代わりに t を含まない式を求めます。

v_y = v₀ - g t　を変形して、

　　⇒　　g t = v₀ - v_y　　⇒　　t = \(\large{\frac{v_0-v_y}{g}}\)

y = v₀ t - \(\large{\frac{1}{2}}\) g t²　に代入して t を消去すると、

　　　　y = v₀ \(\bigl(\large{\frac{v_0-v_y}{g}}\bigr)\) - \(\large{\frac{1}{2}}\) g \(\bigl(\large{\frac{v_0-v_y}{g}}\bigr)^2\)

　　　　　= \(\bigl(\large{\frac{{v_0}^2-v_0v_y}{g}}\bigr)\) - \(\bigl(\large{\frac{{v_0}^2-2v_0v_y+{v_y}^2}{2\ g}}\bigr)\)

　　　　　= \(\bigl(\large{\frac{{2v_0}^2-2v_0v_y}{2\ g}}\bigr)\) - \(\bigl(\large{\frac{{v_0}^2-2v_0v_y+{v_y}^2}{2\ g}}\bigr)\)

　　　　　= \(\large{\frac{{v_0}^2-{v_y}^2}{2\ g}}\)

　∴　　2 g y = v₀² - v_y²

　∴　　- 2 g y = v_y² - v₀²

というわけで、鉛直投射の式（v_y を v に変更）が得られます。

（鉛直上向きが正）

θ = 270° のときも同様です。v₀ が負の値もとることとすれば、鉛直下方投射の式と鉛直上方投射の式は統合することができます。

初速度の向きが水平方向（θ=0°,180°）のときは水平投射に相当する

θ = 0° のとき、cosθ = 1 、sinθ = 0 、tanθ = 0 ですから、これらを斜方投射の式

に代入して、鉛直上向き正のところを鉛直下向き正、つまり、- g の部分を + g にすると、水平投射の式が得られます。

（鉛直下向きが正）

θ = 180° のときも同様です。このとき、cosθ = -1 となり、v_x = - v₀ となりますが、これは右を向いているか左を向いているかという違いしかありません。