qG873　■わかりやすい高校物理の部屋■

図1のように、二つの滑車と伸び縮みしないひもを使い、質量 M の物体1と質量 m の物体2をつりさげた。はじめ、物体1、2は動かないように手で支えられている。静かに手を離したところ、物体1、2が運動し始めた。このときの物体1の加速度を α 、物体2の加速度を β とする。ただし、加速度は鉛直下向きを正とする。また、滑車とひもの質量は無視でき、滑車はなめらかに回転するものとする。

（問1）加速度 α と β の間に成り立つ関係として正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選べ。

① β = 2α　　　② β = α　　③ 2β = α

④ β = - 2α　　⑤ β = - α　　⑥ 2β = - α

（問2）物体1、2の運動方程式の組み合わせとして正しいものを、次の①～④のうちから一つ選べ。ただし、ひもの張力を T とし、重力加速度の大きさを g とする。

① \(\begin{cases} Mα = Mg-2T \\ mβ = mg-T \end{cases}\)　　　　　② \(\begin{cases} Mα = mg-2T \\ mβ = Mg-T \end{cases}\)

③ \(\begin{cases} Mα = (M+m)g-T \\ mβ = (M+m)g-2T \end{cases}\)　　④ \(\begin{cases} Mα = (M+m)g-2T \\ mβ = (M+m)g-T \end{cases}\)

（問3）次の文中の空欄3に入れる式として正しいものを、下の①～⑤のうちから一つ選べ。

　物体1は、M > 3 のとき降下するが、M < 3 のときには上昇する。

① \(\large{\frac{m}{3}}\)　　　② \(\large{\frac{m}{2}}\)　　③ m

④ 2m　　　⑤ 3m

#センター06追試

まず、
この問題は、物体1が上昇するのか降下するのか分かりません。

確実に言えるのは、物体1が上昇するときには物体2は降下し、物体1が降下するときは物体2が上昇する、ということです。

そして、問題文により鉛直下向きが正と定められているので、α と β の正負は常に逆になります。

M や m は正の値しかとりませんが、α と β は正の値も負の値もとります。

次に、
物体1が l だけ動くときに、物体2は 2l 動きます。物体1が l 上昇すると、ひもは 2l 短くなり、その 2l 分だけ物体2が降下します。

この l は正の値しかとりません。

（問1）
物体1が時間 t の間に l だけ動いたとしますと、等加速度直線運動の変位の関係（ x = v₀t + \(\large{\frac{1}{2}}\)at² ）より、

　物体1 ： - l = \(\large{\frac{1}{2}}\)αt²　　……➊

　物体2 ： 2l = \(\large{\frac{1}{2}}\)βt²　　……➋

➊式の両辺を2倍して、➊式、➋式の辺々を足しますと、

　　　　- 2 l + 2l = \(\large{\frac{2}{2}}\)αt² + \(\large{\frac{1}{2}}\)βt²

　∴　　0 = \(\large{\frac{2}{2}}\)αt² + \(\large{\frac{1}{2}}\)βt²

　∴　　0 = α + \(\large{\frac{1}{2}}\)β

　∴　　β = - 2α

となります。答えは ④ です。

（余談）
➊式は

　物体1 ： l = \(\large{\frac{1}{2}}\)αt²　　……➊'

と立てることもできます。そのときは➋式は

　物体2 ： - 2l = \(\large{\frac{1}{2}}\)βt²　　……➋'

となります。どっちみち同じことです。

また、等加速度直線運動の速度の関係（ v = at ）より、

　物体1 ： v₁ = αt

　物体2 ： v₂ = βt = - 2αt = - 2v₁

　（ただし v₁、v₂ は正の値も負の値もとるものとする）

であり、つまり、

物体2は物体1と比べて、加速度の大きさも、速度の大きさも、変位の大きさも全て2倍、となっています。（向きは全て逆です）。この手の問題のパターンです。頭に入れておいてください。

各物体にはたらく力を描くと左図のようになります。張力 T はどの地点でも同じ大きさです。あと、正の値しかとりません。＊張力を全て描けば下図のようになりますが、

今は、物体に掛かる力について考えています。閉じる

正負に気をつけながら運動方程式を立てますと、

　物体1 ： Mα = Mg - 2T　　……❸

　物体2 ： mβ = mg - T　　……❹

となります。答えは ① です。

物体1の加速度 α を求めます。

問1の結果　β = - 2α　を❹式に代入しますと、

　　　　- 2mα = mg - T

これを2倍しますと、

　　　　- 4mα = 2mg - 2T

この式と❸式の辺々を引いて T を消去しますと、

　　　Mα - (- 4mα) = Mg - 2T - (2mg - 2T)

　∴　Mα + 4mα = Mg - 2mg

　∴　　α = \(\large{\frac{M-2m}{M+4m}}\)g

となります。右辺の分母は常に正です。分子は正かもしれませんし負かもしれません。

物体1が降下するときというのは α > 0 のときであり M - 2m > 0 のときです。つまり M > 2m のときです。

物体1が上昇するときというのは α < 0 のときであり M - 2m < 0 のときです。つまり M < 2m のときです。

答えは ④ です。

（余談）
M が m の倍より重ければ物体1は降下し、倍より軽ければ上昇します。

M が m のちょうど倍のときは、α = 0 、β = 0 であり、これはつまり、力がつり合って全てが静止するということです。

この問題の装置はテコの原理を発揮しているといえます。