qG7F1

『斜方投射を表す式』を理解していれば簡単な問題です。水平成分と鉛直成分に分解して考えます。

初速度の水平成分は

　　v₀cos45° = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v₀　＊ 『斜方投射を表す式』の速度　v_x = v₀cosθ　のことです。 閉じる

であり、

この水平成分が L だけ進むのに掛かる時間を t と置きますと、

　　t = \(\large{\frac{距離}{速さ}}\) = \(\large{\frac{L}{\frac{1}{\sqrt{2}}v_0}}\) = \(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\)

つまり、壁に衝突するまでの時間は　t = \(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\)　です。

初速度の鉛直成分は

　　v₀sin45° = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v₀

であり、

この鉛直成分は鉛直上方投射運動をすると考えられ、t = \(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\) だけ時間が経ったときの高さは

　　　　h = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v₀t - \(\large{\frac{1}{2}}\)gt²　＊ 『斜方投射を表す式』の位置　y = v₀sinθ⋅t - \(\large{\frac{1}{2}}\)gt²　のことです。 閉じる

　　　　　= \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v₀⋅\(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\) - \(\large{\frac{1}{2}}\)g\(\big(\sqrt{2}\large{\frac{L}{v_0}}\big)\)²

　　　　　= L - \(\large{\frac{gL^2}{v_0^2}}\)

です。

求める速さを v と置き、その水平成分を v_x 、鉛直成分を v_y とします。

（水平成分 v_x は）
初速度の水平成分と変わらないから、

　　v_x = \(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)v₀　　……①

（鉛直成分 v_y は）
『鉛直上方投射』の t を含まない式（ v² - v₀² = -2gy ）を立てますと、

　　v_y² - \(\big(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}v_0\big)\)² = -2gh

∴　v_y² = \(\big(\large{\frac{1}{\sqrt{2}}}v_0\big)\)² -2gh　　……②

（よって、v の大きさは）
三平方の定理より、

　　v = \(\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}\)　　①、②を代入して

∴　　= \(\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}}v_0)^2+(\frac{1}{\sqrt{2}}v_0)^2-2gh}\)

∴　　= \(\sqrt{\frac{1}{2}{v_0}^2+\frac{1}{2}{v_0}^2-2gh}\)

∴　　= \(\sqrt{{v_0}^2-2gh}\)

（別解：力学的エネルギー保存の法則を使って求めた方が、水平成分、鉛直成分に分解する必要がなくて楽）
点Pでボールを蹴った瞬間の力学的エネルギーは　\(\large{\frac{1}{2}}\)mv₀²　（位置エネルギーは 0 ）　　……③

壁にぶつかる直前の力学的エネルギーは　\(\large{\frac{1}{2}}\)mv² + mgh　　……④

力学的エネルギー保存の法則により ③ = ④ であるから、

　　　　\(\large{\frac{1}{2}}\)mv₀² = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv² + mgh

　∴　　mv₀² = mv² + 2mgh

　∴　　v₀² = v² + 2gh

　∴　　v² = v₀² - 2gh

　∴　　v = \(\sqrt{{v_0}^2-2gh}\)

と、同じ結果が楽に求められます。