qH7D5

（問1）
状態Cの温度が問題文で与えられてませんが、その温度を T_C と置いて、B→Cの変化におけるシャルルの法則の式を立てて求めますと、

　　　　\(\large{\frac{V_\rm{B}}{T_\rm{B}}}\) = \(\large{\frac{V_\rm{C}}{T_\rm{C}}}\)

　∴　　\(\large{\frac{V_\rm{B}}{T_\rm{B}}}\) = \(\large{\frac{2V_\rm{B}}{T_\rm{C}}}\)

　∴　　\(\large{\frac{1}{T_\rm{B}}}\) = \(\large{\frac{2}{T_\rm{C}}}\)

　∴　　T_C = 2T_B

よって、各内部エネルギー（U = \(\large{\frac{3}{2}}\)nRT）は

　　　　 U_A = \(\large{\frac{3}{2}}\)⋅1⋅RT_A = \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_A

　　　　 U_B = \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_B

　　　　 U_C = \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_C = \(\large{\frac{3}{2}}\)R⋅2T_B = 3RT_B

　　　　 U_D = \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_D

（問2）
気体の状態変化には以下の4種類があります。

定積変化はピストンを固定しながらシリンダーを加熱、冷却するような状態変化であり、加熱すると温度と圧力が上がり、冷却する（熱を放出する）と温度と圧力が下がります。D→Aの変化では熱を放出して圧力が下がっています。

定圧変化はピストンを自由に動けるようにして加熱、冷却するような状態変化であり、加熱すると温度と体積が大きくなり、冷却する（熱を放出する）と温度と体積が小さくなります。B→Cの変化では加熱され温度と体積が大きくなっています。

等温変化は温度を一定に保ったままピストンを動かすような状態変化であり、本問には該当しません。

断熱変化は熱を出入りさせずにピストンを動かすような状態変化です。A→B、C→Dの変化です。

というわけで、

　　熱量 Q₁ を受け取る変化： B→C

　　熱量 Q₂ を放出する変化： D→A

そして、単原子分子の理想気体の定圧モル比熱は（C =） \(\large{\frac{5}{2}}\)R であり、 B→Cの変化で受け取る熱量（Q = nCΔT）は

　　　　 Q₁ = 1⋅\(\large{\frac{5}{2}}\)R⋅(T_C - T_B) = \(\large{\frac{5}{2}}\)R⋅(2T_B - T_B) = \(\large{\frac{5}{2}}\)RT_B

また、単原子分子の理想気体の定積モル比熱は（C =） \(\large{\frac{3}{2}}\)R であり、 D→Aの変化で放出する熱量（Q = nCΔT）は
（Q₂ が正になるように気を付けて）

　　　　 Q₂ = 1⋅\(\large{\frac{3}{2}}\)R⋅(T_D - T_A) = \(\large{\frac{3}{2}}\)R(T_D - T_A) 　＊ あるいは
Q₂ = - 1⋅\(\large{\frac{3}{2}}\)R⋅(T_A - T_D)
と立式してもいいです。

（念のため）
T_D > T_A であることはお分かりでしょうか。
p-Vグラフにおいて原点から遠い方が温度は高いです。

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（問3）
本問のサイクルにおいてピストン内の分子の数が増減することもないし、温度は最初の温度に戻るので、この気体の内部エネルギーに変化はありません（ΔU = 0）。ということは熱力学第1法則の式　Q = ΔU + W　は　Q = W　となります。すなわち、気体がする仕事というのは気体が得た熱量ということです。つまり、

　　　　 W = Q₁ - Q₂

　　　　　= \(\large{\frac{5}{2}}\)RT_B - \(\large{\frac{3}{2}}\)R(T_D - T_A)

　　　　　= \(\large{\frac{5}{2}}\)RT_B - \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_D + \(\large{\frac{3}{2}}\)T_A

　　　　　= \(\large{\frac{R}{2}}\)(5T_B - 3T_D + 3T_A)

　　　　　= \(\large{\frac{R}{2}}\)(3T_A + 5T_B - 3T_D)

（余談：これを各状態変化ごとに細かく見ていくと）

（A→B:断熱変化）断熱変化（Q = 0）では　Q = ΔU + W　は　0 = ΔU + W　であり＊ 『気体の状態変化』項と本問では W の正負の定義が逆です。
本問では
　　ΔU = Q + W
ではなく
　　Q = ΔU + W
です。
閉じる 、つまり、

　　　　0 = ΔU_AB + W_AB

　∴　　W_AB = - ΔU_AB

　　　　　　 = - (U_B - U_A)

　　　　　　 = - \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_B + \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_A　　……➊

（B→C:定庄変化）定庄変化では　Q = ΔU + W　であり、つまり、

　　　　Q₁ = ΔU_BC + W_BC

　∴　　W_BC = Q₁ - ΔU_BC

　　　　　　 = Q₁ - (U_C - U_B)

　　　　　　 = Q₁ - 3RT_B + \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_B　　……➋

（C→D:断熱変化）断熱変化（Q = 0）では　Q = ΔU + W　は　0 = ΔU + W　であり、つまり、

　　　　0 = ΔU_CD + W_CD

　∴　　W_CD = - ΔU_CD

　　　　　　 = - (U_D - U_C)

　　　　　　 = - \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_D + 3RT_B　　……❸

（D→A:定積変化）定積変化（W = 0）では、

　　　　W_DA = 0　　……❹

➊、➋、❸、❹より、

　　　　W = W_AB + W_BC + W_CD + W_DA

　　　　　 = - \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_B + \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_A + Q₁ - 3RT_B + \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_B - \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_D + 3RT_B + 0

　　　　　 = \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_A + Q₁ - \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_D　　問2の結果を代入して

　　　　　 = \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_A + \(\large{\frac{5}{2}}\)RT_B - \(\large{\frac{3}{2}}\)RT_D

　　　　　 = \(\large{\frac{R}{2}}\)(3T_A + 5T_B - 3T_D)

と、同じ結果が得られます。

なお、この値は

左図の青色部分の面積となっています。

（問4）

（p と V の関係式を T と V の関係式に変形する）
問題文にある　pV^γ = 一定　というのはポアソンの法則のことですが、これを定数 k を用いて表現すると、

　　　　pV^γ = k

となり、さらに、ボイル⋅シャルルの法則を定数 k' を用いて表現すると、

　　　　\(\large{\frac{pV}{T}}\) = k'

となり、この2式の辺々を割りますと、

　　　　\(\large{\frac{pV^γ}{\frac{pV}{T}}}\) = \(\large{\frac{k}{k'}}\)

　　　　\(\large{\frac{V^γ}{\frac{V}{T}}}\) = \(\large{\frac{k}{k'}}\)

　∴　　TV^γ-1 = \(\large{\frac{k}{k'}}\)

これはつまり、 TV^γ-1 = 一定　ということです。

（T_A と T_D を T_B 、V_A 、V_B を用いて表す）
上記の関係式をA→Bの断熱変化に適用しますと、＊ ポアソンの法則は断熱変化において成り立つものです。 閉じる

　　　　T_AV_A^γ-1 = T_BV_B^γ-1

　∴　　 T_A = \(\large{(\frac{V_\rm{B}}{V_\rm{A}}})^{\small{γ-1}}\)T_B

C→Dの断熱変化に適用しますと、

　　　　T_CV_C^γ-1 = T_DV_D^γ-1

　∴　　2T_B(2V_B)^γ-1 = T_DV_A^γ-1　　＊ 問1より　T_C = 2T_B　であり、
問題文より　V_C = 2V_B　であり、
D→Aは定積変化であるから　V_D = V_A　であり、
これらを代入します。 閉じる

　∴　　 T_D = 2×2^γ-1×T_B×\(\large{(\frac{V_\rm{B}}{V_\rm{A}}})^{\small{γ-1}}\)

　　　　　 = 2^γ\(\large{(\frac{V_\rm{B}}{V_\rm{A}}})^{\small{γ-1}}\)T_B

（ ^γ を用いていいかどうか問題文に書いてませんが、おそらく使っていいはずです）

（問5）
熱効率（ e = \(\large{\frac{W}{Q_1}}\) = \(\large{\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}}\) ）は、問2、問3の値を用いて、

　　　　 e = \(\large{\frac{\frac{R}{2}(3T_{\rm{A}}+5T_{\rm{B}}-3T_\rm{D})}{\frac{5}{2}RT_\rm{B}}}\)

　　　　　= \(\large{\frac{3T_{\rm{A}}+5T_{\rm{B}}-3T_\rm{D}}{5T_\rm{B}}}\)

　　　　　= \(\large{\frac{5T_{\rm{B}}-3T_{\rm{D}}+3T_\rm{A}}{5T_\rm{B}}}\)

　　　　　= 1 - \(\large{\frac{3(T_{\rm{D}}-T_\rm{A})}{5T_\rm{B}}}\)　　問4の値を代入すると T_B が消去でき

　　　　　= 1 - \(\large{\frac{3\Big\{2^γ(\frac{V_\rm{B}}{V_\rm{A}})^{\small{γ-1}}-(\frac{V_\rm{B}}{V_\rm{A}})^{\small{γ-1}}\Big\}T_\rm{B}}{5T_\rm{B}}}\)

　　　　　= 1 - \(\large{\frac{3\Big\{2^γ(\frac{V_\rm{B}}{V_\rm{A}})^{\small{γ-1}}-(\frac{V_\rm{B}}{V_\rm{A}})^{\small{γ-1}}\Big\}}{5}}\)

　　　　　= 1 - \(\large{\frac{3(2^γ-1)}{5}\big(\frac{V_\rm{B}}{V_\rm{A}}}\big)^{\small{γ-1}}\)