qI814　■わかりやすい高校物理の部屋■

円柱が滑らないためには μ が大きい方がいいだろうし、転倒するには a が小さくて b が大きい方がいいはずだから、答えは④とすぐにわかります。選択肢問題だからこのようにして解けばいいのですが、一応ちゃんと説明してみます。

物体が滑るか滑らないかについては『摩擦角』項で詳しく解説したのでそちらを読んでいただくとして、物体が転倒するというのはどういうことかを考えてみます。

転倒するということは回転するということであり、回転してしまうということは力のモーメントがつり合っていないということであり、たとえば左図のような力の掛かり方をしているということです。（物体は左回りに回転してしまう）

左図のような力の掛かり方であれば力のモーメントはつり合い、物体は回転しません。

力のモーメントがつり合うときは3力の作用線は1点で交わります。交わらないときは力のモーメントはつり合いません。

本問の場合、
円柱の重心はその真ん中であり、

そこに重力が掛かっています。

板の上に置かれているので垂直抗力を受け、

あらい板であるので、摩擦力がはたらき、

円柱が転倒しないときは、これらの力のモーメントがつり合っています。

力のモーメントがつり合っているということはそれらの作用線が1点で交わるということであり、

重力の作用線は円柱の重心を通る鉛直線であり、

摩擦力の作用線は斜面内にあるので、

作用線が交わる点というのは”重力の作用線と斜面の交点”、ということになります。

垂直抗力の作用線もここを通るわけですが、その作用点は必ず斜面上のどこかにある＊閉じるわけですから、自動的に垂直抗力の作用点は”重力の作用線と斜面の交点”ということになります。

そして、これよりも斜面が傾くと重力の作用線は垂直抗力や摩擦力の作用点から外れてしまいます＊垂直抗力の作用点と摩擦力の作用点は
円柱の底面内に留まります。

底面から外れたらおかしいです。閉じる。3つの力の作用線が1点で交わらなくなります。力のモーメントがつり合わなくなり、円柱が転倒し始めます。重心の位置が円柱の最下点より左に来ると、円柱が斜面から浮き上がって転倒し始めるということです。

つまり、”重力の作用線と斜面の交点”が底面のちょうど最下点にきたときが円柱が転倒するかどうかの境目です。

このときの斜面の仰角を θ₁ とします。

そうしますと、このとき斜面に押し付ける力の大きさは mgcosθ₁ であり、

つまり、垂直抗力の大きさは mgcosθ₁ であり、最大静止摩擦力はそれに μ を掛けた μmgcosθ₁ です。

斜面下に滑り落とそうとする力は mgsinθ₁ であるので、

円柱が滑らないための条件は

　　　　μmgcosθ₁ > mgsinθ₁

　∴　　μ > \(\large{\frac{\sinθ_1}{\cosθ_1}}\)

　∴　　μ > tanθ₁　　……❶

です。

このときの θ₁ は円柱のここの角度でもあるので、

　　tanθ₁ = \(\large{\frac{a}{b}}\)

です。

これを❶式に代入して θ₁ を含まない式にしますと、

　　　　μ > \(\large{\frac{a}{b}}\)

　∴　　a < μb

となります。

斜面の角度を徐々に大きくしていって θ₁ となるまで摩擦力が勝まさっていてくれれば、それより角度が大きくなった瞬間に円柱の転倒が始まります。静止摩擦係数 μ が \(\large{\frac{a}{b}}\) より大きければ円柱は θ₁ まで踏ん張ることができ、θ₁ より大きく傾いた瞬間、重心の位置が底面の最下点の位置より左に来て、自然と転倒が始まるということです。

（式を解釈）
\(\large{\frac{a}{b}}\) というのは左図の \(\large{\frac{A}{B}}\) と同じであり、θ₁ というのは摩擦角のことであり、tanθ₁ は \(\large{\frac{A}{B}}\) のことであり、つまりは円柱が摩擦角の比より細長ければ、滑らずに転倒するということです。