図1のように、床に高さ 2h のスタンドを置き、質量が無視できる自然の長さ h のゴムひもを点Aに取り付ける。ゴムひもの他端に質量 m の小球を取り付けて、点Aから小球を静かに離すと、小球は鉛直に落下し、床に衝突せずに再び上昇した。ここで、ゴムひもの弾性力は、ゴムひもが自然の長さから伸びた場合にのみ働き、その大きさは自然の長さからの伸びに比例するものとし、その比例定数を k とする。ただし、重力加速度の大きさを g とする。
（問1）小球が高さ h の位置を最初に通過したときの、小球の速さはいくらか。
（問2）高さが z ( z < h ) のときの小球の加速度 a はいくらか。ただし、加速度 a は鉛直上向きを正とする。
（問3）小球が最下点に達したときの高さを z0 とするとき、比例定数 k を数式で表わせ。
#センター08本試
（問1）
高さ 2h のA点から落下し、高さ h の位置を通過するまでは、ゴムの弾性力は作用しないのだから、その間は自由落下運動と同じです。
求める速さを v としますと、高さ h の位置を通過するときの運動エネルギーは
\(\large{\frac{1}{2}}\)mv2
高さ h を基準としますと、2h の高さでの位置エネルギーは
mgh
\(\large{\frac{1}{2}}\)mv2 = mgh
∴ v2 = 2gh
∴ v = \(\sqrt{2gh}\)
（qGBB1 参照）
（問2）
小球の高さが z のとき、ゴムひもの伸びは h - z 。ですのでこのときの弾性力は k(h - z) 。この弾性力の向きは上向きで、題意より今、上向きが正だから、この弾性力も正。
小球には重力 mg もはたらいていて、その向きは下向きであり、この問題においては下向きは負。
よって小球の運動方程式は
ma = k(h - z) - mg
∴ a = \(\large{\frac{k}{m}}\)(h - z) - g
（問3）
小球が最下点に達したときのゴムひもの伸びは h - z0 。よって、このときの弾性エネルギーは \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - z0)2 。
この位置では速さが 0 であるので運動エネルギーは 0 。
床面（高さ 0 ）を基準としたときのこの位置での重力による位置エネルギーは mgz0 。
よって、
（最下点での力学的エネルギー）=（最下点での運動エネルギー）+（最下点での重力による位置エネルギー）+（最下点での弾性エネルギー）
= ( 0 ) + ( mgz0 ) + ( \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - z0)2 )
= mgz0 + \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - z0)2 ……①
一方、A点での力学的エネルギーは
（問1）では高さ h の位置を基準としましたが、
（問3）では床面（高さ 0 ）を基準とします。
位置エネルギーの基準位置は任意に設定可能です。
（A点での力学的エネルギー）=（A点での運動エネルギー）+（A点での重力による位置エネルギー）+（A点での弾性エネルギー）
= ( 0 ) + ( 2mgh ) + ( 0 )
= 2mgh ……②
力学的エネルギー保存の法則により ① = ② であるから、
mgz0 + \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - z0)2 = 2mgh
∴ \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - z0)2 = 2mgh - mgz0
∴ \(\large{\frac{1}{2}}\)k(h - z0)2 = mg(2h - z0)
∴ k = 2mg\(\large{\frac{2h-z_0}{(h-z_0)^2}}\)
（qG7F4、『鉛直ばね振り子の力学的エネルギー』 参照）