qH7DA

（問1）

　　qv₀B

であり、求める円運動の半径を r として円運動の運動方程式を立てますと、

　　m\(\large{\frac{{v_0}^2}{r}}\) = qv₀B

　∴　　m\(\large{\frac{v_0}{r}}\) = qB

　∴　　r = \(\large{\frac{mv_0}{qB}}\)

また、周期を T と置きますと、

　　　　T = \(\large{\frac{2πr}{v_0}}\)＊ 　ω = \(\large{\frac{v}{r}}\)　と

　T = \(\large{\frac{2π}{ω}}\)　より

　T = \(\large{\frac{2πr}{v}}\) 閉じる = \(\large{\frac{2πm}{qB}}\)

回転の方向については、

フレミングの左手の法則を適用しますと、 b 。

（問2）
磁場に平行な電場が加わったということなので、電荷 q は紙面こちら向きに力を受けることになります。その力の大きさは＊ 　　E = \(\large{\frac{F}{q}}\)
∴　F = qE 閉じる

　　qE₁

で、この力で電荷 q は紙面こちら向きに加速されるわけですが、その加速度の大きさは運動方程式（ma = F）の関係より、

　　　　\(\large{\frac{qE_1}{m}}\)

であり、t 秒後の紙面こちら向きの速さは＊ v = v₀ + at 閉じる

　　　　\(\large{\frac{qE_1}{m}}\)t

であり、

この速さを v₀ と合成しますと（三平方の定理より）、

　　 \(\sqrt{{v_0}^2+\big(\frac{qE_1}{m}t\big)^2}\)

（問3）
領域①の向きに打ち出された荷電粒子は右回りに円弧を描きます。（等速円運動）

このときの荷電粒子の運動エネルギーは

　　\(\large{\frac{1}{2}}\)mv₁²

です。

その後、領域②において荷電粒子は E₂ によって加速されます。加速して領域③に到達した瞬間の速さを v₂ と置きますと、そのときの運動エネルギーは

　　\(\large{\frac{1}{2}}\)mv₂²

ですが、

どのくらいエネルギーが増えたかといいますと、それは

　　　　qE₂d

です。荷電粒子は領域②において qE₂ の力を受けて、d だけ進みます。qE₂ × d の仕事をされて、その分エネルギーが増えます（速さが増します）。これは『あらい水平面を進む物体』や『qG7FA』の逆のような話です。摩擦力を受けたときは減速して運動エネルギーが減りますが、本問の場合は、力を受けて加速し、運動エネルギーが増えます。

ですから、領域③に到達した瞬間の力学的エネルギーは

　　　　\(\large{\frac{1}{2}}\)mv₂² = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv₁² + qE₂d

となります。右辺が求める運動エネルギーの大きさです。（左辺は解答として不適です。自分で設定した v₂ が含まれています。右辺は与えられた量のみで表現できています。）

そして、上式を解いて v₂ を求めますと、

　　　　\(\large{\frac{1}{2}}\)mv₂² = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv₁² + qE₂d

　∴　　mv₂² = mv₁² + 2qE₂d

　∴　　v₂² = v₁² + \(\large{\frac{2qE_2d}{m}}\)

　∴　　v₂ = \(\sqrt{{v_1}^2+\large{\frac{2qE_2d}{m}}}\)

（問4）
荷電粒子は領域①と③では円弧を描き、領域②では真っ直ぐ進むわけですが、問1を参考にしますと、
領域①での円の半径は

　　\(\large{\frac{mv_1}{qB}}\)

であり、領域③での円の半径は

　　\(\large{\frac{mv_2}{qB}}\)

であるので、点Pからの距離は

　　2×\(\large{\frac{mv_2}{qB}}\) - 2×\(\large{\frac{mv_1}{qB}}\) = \(\large{\frac{2m}{qB}}\)(v₂ - v₁)

　　　　　　　　　　= \(\large{\frac{2m}{qB}}\)\(\Bigg(\)\(\sqrt{{v_1}^2+\large{\frac{2qE_2d}{m}}}\) - \(v_1\)\(\Bigg)\)

（問5）
問1、問4で説明したように、円の半径は荷電粒子の速さに比例します。ですので、領域③での円運動の半径は領域①での半径の3倍になります。

また、領域③から領域①へ戻るとき、荷電粒子の速さは v₁ に戻ります。領域②を進んでいる間、荷電粒子は qE₂ の力を受け減速します。力学的エネルギー保存の式を立てると、

　　　　\(\large{\frac{1}{2}}\)mv₁² = \(\large{\frac{1}{2}}\)mv₂² - qE₂d

となります。問3の式と同等です。①→③の過程では qE₂d だけエネルギーが増え、③→①の過程では qE₂d だけエネルギーが減ります。

というわけで軌跡の図は以下のようになります。