qH7D3

（問1）
衝突前の運動量の和： M⋅0 + (- mu)

衝突後の運動量の和： (- Mv_A) + mv_B

運動量保存の法則より、

　　　　M⋅0 + (- mu) = (- Mv_A) + mv_B

　∴　　- mu = - Mv_A + mv_B

　∴　　mv_B = Mv_A - mu

　∴　　v_B = \(\large{\frac{M}{m}}\)v_A - u　　……①

また、弾性衝突（e = 1）であることから反発係数の式（e = \(-\large{\frac{v_1{'}-v_2{'}}{v_1-v_2}}\)）に各量を代入して v_A を求めますと、

　　　　1 = \(-\large{\frac{-(v_\rm{A})-v_\rm{B}}{0-(-u)}}\)

　∴　　1 = \(\large{\frac{v_\rm{A}+v_\rm{B}}{u}}\)

　∴　　u = v_A + v_B　　①式を代入して

　∴　　u = v_A + \(\large{\frac{M}{m}}\)v_A - u

　∴　　2u = (1 + \(\large{\frac{M}{m}}\))v_A

　∴　　2u = \(\large{\frac{m+M}{m}}\)v_A

　∴　　2u\(\large{\frac{m}{m+M}}\) = v_A

　∴　　 v_A = \(\large{\frac{2m}{M+m}}\)u

これを①式に代入しますと、

　　　　 v_B = \(\large{\frac{M}{m}}\)v_A - u

　　　　　 = \(\large{\frac{M}{m}}\)⋅\(\large{\frac{2m}{M+m}}\)u - u

　　　　　 = \(\large{\frac{2M}{M+m}}\)u - u

　　　　　 = \(\large{\frac{2M-(M+m)}{M+m}}\)u

　　　　　 = \(\large{\frac{M-m}{M+m}}\)u

v_B は速度でなく速さを表す量であり、M > m であるので、上式を読み取るとちゃんと正になってます。ここが負になっていると何かしら間違っているということです。

（問2）
「最大振れ角が小さい」という意味は、運動が単なる単振り子ではなく微小振動の単振り子であるということであり、微小振動の単振り子の周期の公式（ T = 2π\(\sqrt{\frac{\large{l}}{\large{g}}}\) ）が使えるということです。

求める周期を T と置きますと、

　　　　 T = 2π\(\sqrt{\frac{\large{l}}{\large{g}}}\)

求める張力を S と置きますと、

重力が Mg で、

遠心力が \(M\large{\frac{{v_\rm{A}}^2}{l}}\) で、

これらが張力とつり合っているので、

　　 S = Mg + \(M\large{\frac{{v_\rm{A}}^2}{l}}\)　　＊ あるいは、
円運動の運動方程式として、
　　\(M\large{\frac{{v_\rm{A}}^2}{l}}\) = S - Mg
と立式してもいいです。 閉じる

　　　 = \(M(g +\large{\frac{{v_\rm{A}}^2}{l}}\normalsize{)}\)

（問3）
衝突後、小球Bは水平投射運動をします。水平投射の鉛直方向の位置の式（y = \(\large{\frac{1}{2}}\)gt²）に各量を代入しますと、

　　h = \(\large{\frac{1}{2}}\)gt₀²

∴　\(\large{\frac{2h}{g}}\) = t₀²

∴　 t₀ = \(\sqrt{\frac{\large{2h}}{\large{g}}}\)

（問4）

（床への衝突直前の速度の鉛直成分の大きさ）
小球Aとの衝突後、小球Bの鉛直成分は g の加速度で t₀ の時間進むわけですから、床への衝突直前の速度の鉛直成分の大きさは

　　　　gt₀

（床への衝突直後の速度の鉛直成分の大きさ）
反発係数 e で跳ね返る（e = \(\large{\frac{|v'|}{|v|}}\)）のですから、床への衝突直後の速度の鉛直成分の大きさは

　　　　egt₀

この速さが g の加速度で \(\large{\frac{t_1}{2}}\) の時間だけ経つと（最高点で） 0 になるのだから、

　　　　egt₀ = \(g\large{\frac{t_1}{2}}\)　　……②

　∴　　et₀ = \(\large{\frac{t_1}{2}}\)

　∴　　t₁ = 2et₀

問3の t₀ の値を代入して

　　　　 t₁ = 2e\(\sqrt{\frac{\large{2h}}{\large{g}}}\)

（問5）

（水平方向）
小球Bの速度の水平成分は初速のまま一定であり＊ 『水平投射』項参照 閉じる 、x = v_Bt となります。

（鉛直方向）
床に最初に衝突した後の最高点の高さを h₁ として、鉛直上方投射のtを含まない式（v² - v₀² = - 2gy）を立てますと、

　　　　0² - (egt₀)² = - 2gh₁

　∴　　- e²g²t₀² = - 2gh₁

　∴　　e²gt₀² = 2h₁　　問3で求めた t₀ = \(\sqrt{\frac{\large{2h}}{\large{g}}}\) を代入して

　∴　　e²g\(\frac{\large{2h}}{\large{g}}\) = 2h₁

　∴　　e²2h = 2h₁

　∴　　h₁ = e²h　　（←これはよく出てくるパターンです。覚えておいてください。）

さらに、床への2回目の衝突直後の速度の鉛直成分の大きさは（問4と同様に考えて）

　　　　e×egt₀ = e²gt₀

　　　　0² - (e²gt₀)² = - 2gh₂

　∴　　e⁴gt₀² = 2h₂　　t₀ = \(\sqrt{\frac{\large{2h}}{\large{g}}}\) を代入して

　∴　　e⁴g\(\frac{\large{2h}}{\large{g}}\) = 2h₂

　∴　　h₂ = e⁴h

さらに、h₃ と置いて同様に計算すると、

　　　　0² - (e³gt₀)² = - 2gh₃

　∴　　h₃ = e⁶h

また、床に2回目に衝突してから3回目に衝突するまでの時間を t₂ として問4の②式と同様の式を立てると、

　　　　e²gt₀ = \(g\large{\frac{t_2}{2}}\)

　∴　　e²t₀ = \(\large{\frac{t_2}{2}}\)

　∴　　t₂ = 2e²t₀

さらに、t₃ と置いて計算すると、

　　　　e³gt₀ = \(g\large{\frac{t_3}{2}}\)

　∴　　t₃ = 2e³t₀

以上まとめますと、

高さは
　　h 、 h₁ = e²h 、 h₂ = e⁴h 、 h₃ = e⁶h 、 …

時間は（t₀だけ定義がちょっと違いますが）
　　t₀ 、 t₁ = 2et₀ 、 t₂ = 2e²t₀ 、 t₃ = 2e³t₀、 …

となります。

題意より e = 0.5 であるので、跳ね返るごとに高さは \(\large{\frac{1}{4}}\) になり、時間は \(\large{\frac{1}{2}}\) になる、ということです。つまりグラフは以下のようになります。