qH7D1

（問1）
まず、回路に流れる電流の大きさを求めます。I₁ と置きます。そうしますと、オームの法則より、

　　I₁ = \(\large{\frac{E}{R}}\)

電池の向きからしますとこの電流は紙面向こう向きであり、

フレミングの左手の法則を適用しますと力の向きは 右向き で、

電流が磁場から受ける力の大きさ（F = IBlsinθ）を F₁ と置きますと、

　　　　F₁ = I₁Bd = \(\large{\frac{EBd}{R}}\)

（問2）
導線が磁場の中を横切れば誘導起電力が生じます。電池に繋がれていてもいなくてもです。この誘導起電力の大きさ（V = vBl）を V₂ と置きますと、

　　　　V₂ = vBd

であり、その向きは紙面こちら向きです。

求める電流を I₂ と置いて左図のような左回りのループの電位を考えますと、

ア→イ では電池によって電圧が上げられ　+ E 、
ウ→エ では電流が紙面向こう向きに流れ抵抗によって電位が降下し　- RI₂ 、＊ これは間違いやすいです。『キルヒホッフの法則』項の『経路その1』の説明をよくお読みください。 閉じる
かつ、 誘導起電力が紙面こちら向きなので左回りで考えたときには　- vBd　となります。

よって、キルヒホッフの第2法則の式は

　　　　+ E - RI₂ - vBd = 0

　∴　　RI₂ = E - vBd

　∴　　I₂ = \(\large{\frac{E-vBd}{R}}\)

スイッチを入れた直後の問1の電流に比べて小さくなってます。v で走り出すと誘導起電力が発生し、邪魔され、電流が小さくなります。

（問3）
今度は回路に電池が繋がっていません。2つの棒が動いたのは、まず、棒L_aが動かされ、それによって電磁誘導が起こり、誘導起電力が発生し、電流が流れ、棒L_bにも流れ、磁場の中の電流は力を受けるので棒L_bも動いた、ということです。（このとき棒L_bにも電磁誘導が起こります。棒L_aと棒L_bは電池のような役目をします。）

細かく見ていきますと、

始め、棒L_aは右に動かされ（このときの速さは v₀）、電磁誘導が起こり、

上向きの磁場が増えるから、レンツの法則により下向きの磁場を増やすような向きに誘導起電力が発生し、電流が流れ（このときの電流の大きさを I₃ と置きます）、

磁場の中の電流は電磁力を受けますが、その向きはフレミングの左手の法則により左向きであり、棒L_aは減速します。このときの速さが v_a ということです。

棒L_aに流れた電流 I₃ は棒L_bにも流れ、

フレミングの左手の法則により右向きに力を受け動き出します。このときの速さが v_b ということです。

磁場の中で導線が動くので電磁誘導が起こり誘導起電力が発生しますが、

その向きは、棒L_bは上向きの磁場が減るように動きますから、レンツの法則により上向きの磁場を増やすような向きです。紙面こちら向きです。電流は紙面向こう向きですから、電流を邪魔するような向きに誘導起電力が発生するということです。＊ 棒L_aの誘導起電力のみによって発生した電流を I₃ と置くようなことを上で書きましたが、
本当は棒L_bの誘導起電力による妨害も含めた電流の大きさが I₃ です。 閉じる

ここで、左図のような右回りのループの電位を考えてみますと、

カ→キ では、
棒L_aが v_a で動くことによって誘導起電力が発生し　+ v_aBd　、

I₃ の電流が紙面こちら向きに流れるので抵抗によって電位が降下し　- RI₃ 、

ク→ケ では、
棒L_bが v_b で動くことによって紙面こちら向きに誘導起電力が発生し　- v_bBd 、

I₃ の電流が紙面向こう向きに流れるので抵抗によって電位が降下し　- RI₃ 。

よって、キルヒホッフの第2法則の式は

　　　　+ v_aBd - RI₃ - v_bBd - RI₃ = 0

　　　　+ v_aBd - v_bBd - 2RI₃ = 0

　∴　　2RI₃ = v_aBd - v_bBd

　∴　　I₃ = \(\large{\frac{(v_a-v_b)Bd}{2R}}\)

電流の大きさがわかったので磁場から受ける力の大きさ（F = IBlsinθ）が求められ、

棒L_aにはたらく力を F_a としますと、

　　　　F_a = I₃Bd = \(\large{\frac{(v_a-v_b)B^2d^2}{2R}}\)

　　　　向きは（上で説明したように） 左向き

棒L_bにはたらく力を F_b としますと、

　　　　F_b = I₃Bd = \(\large{\frac{(v_a-v_b)B^2d^2}{2R}}\)

　　　　向きは（上で説明したように） 右向き

力の大きさは同じで向きが逆です。棒L_aも棒L_bも右に進んで行きますが、棒L_aは減速し、棒L_bは加速していきます。

（問4）
実は、速度が等しくなったときのその速度の大きさは突き止めることができます。これは知らないとなかなか気が付かないことですが、内力のみがはたらくときは、運動量保存の法則が成り立つのです。問3で調べたように2つの棒にはたらく力は向きが逆で大きさが同じです。これは内力とみなせます。外力がはたらいておらず内力のみがはたらいているときは運動量が保存します。

等しくなったときの速度を v₃ と置きますと、

運動量保存の法則より、
　　　　mv₀ + m⋅0 = mv₃ + mv₃

　∴　　v₀ = 2v₃

　∴　　v₃ = \(\large{\frac{1}{2}}\)v₀

次に運動エネルギーについて考えてみますと、

（初速を与えた瞬間）と（等しくなった瞬間）の運動エネルギーを比較してみますと、

　　　　\((\)\(\large{\frac{1}{2}}\)mv₀² + \(\large{\frac{1}{2}}\)m⋅0²\()\) - \((\)\(\large{\frac{1}{2}}\)m\(\large{\frac{1}{4}}\)v₀² + \(\large{\frac{1}{2}}\)m\(\large{\frac{1}{4}}\)v₀²\()\)

　　　　= \(\large{\frac{1}{2}}\)mv₀² - m\(\large{\frac{1}{4}}\)v₀²

　　　　= \(\large{\frac{1}{4}}\)mv₀²

これだけの運動エネルギーが減っているわけですが、これがまさに回路で消費されたエネルギーです。回路が発熱したわけです。ジュール熱です。

答え　 \(\large{\frac{1}{4}}\)mv₀²

この話は『運動量保存と力学的エネルギー』項の『片方が静止していて、e=0』に似ています。あと、『渦電流』にも似ています。

（問5）
2本の棒の速度が同じになる問4のような状態になると、電流が流れなくなります。

誘導起電力の大きさが同じになって打ち消し合うからです。＊ 『磁場の中を動く導体棒は電池』や

『磁場にすっぽり覆われた中で角度を変えずに動かしても誘導起電力は発生しない』で

説明したのと同じ状態です。 閉じる

電流が流れないので棒は力を受けません（F = IBd の I が 0 ）。力を受けないので2本の棒は等速直線運動をします。問4の状態以降、棒は等速直線運動をするのです。

そして、棒L_aと板との衝突は弾性衝突ですから、向きを変えてからも速度の大きさは変わりません。

そして、向きが変わったので今度は誘導起電力が打ち消し合わず電流が発生します。

電流の大きさは同じなので受ける力の大きさも同じです。

2つの棒は質量が同じですから受ける力が同じなら加速度も同じです。つまり、

答え　 棒L_aと棒L_bは向かい合う方向に同じ大きさの加速度で減速していき、同時に静止する。

エネルギーに着目しますと、問3で \(\large{\frac{1}{2}}\)mv₀² のエネルギーが与えられ、問4で \(\large{\frac{1}{4}}\)mv₀² のエネルギーが消費され、問5で残りの \(\large{\frac{1}{4}}\)mv₀² が消費されるということになります。